Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65340 / 45516
↖ ↑ ↗
← N 48.085419°
W  0.538330°		 ← 203.99 m → N 48.085419°
W  0.535584°		 →
↑
204.06 m
↓
↑
204.06 m
↓
N 48.083584°
W  0.538330°		 ← 204 m →
41 627 m²		 N 48.083584°
W  0.535584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498508453369141 y=0.347263336181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498508453369141 × 217)
    floor (0.498508453369141 × 131072)
    floor (65340.5)     		tx = 65340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347263336181641 × 217)
    floor (0.347263336181641 × 131072)
    floor (45516.5)     		ty = 45516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65340 / 45516 ti = "17/65340/45516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65340/45516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65340 ÷ 217
    65340 ÷ 131072     		x = 0.498504638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45516 ÷ 217
    45516 ÷ 131072     		y = 0.347259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498504638671875 × 2 - 1) × π
    -0.00299072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00939563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347259521484375 × 2 - 1) × π
    0.30548095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.959696730393524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00939563} λ = -0.00939563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959696730393524))-π/2
    2×atan(2.61090454535132)-π/2
    2×1.20502260155945-π/2
    2.4100452031189-1.57079632675     		φ = 0.83924888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00939563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.538330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83924888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.085419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65340 KachelY 45516 -0.00939563 0.83924888 -0.538330 48.085419
    Oben rechts KachelX + 1 65341 KachelY 45516 -0.00934770 0.83924888 -0.535584 48.085419
    Unten links KachelX 65340 KachelY + 1 45517 -0.00939563 0.83921685 -0.538330 48.083584
    Unten rechts KachelX + 1 65341 KachelY + 1 45517 -0.00934770 0.83921685 -0.535584 48.083584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83924888-0.83921685) × R
    3.20299999999607e-05 × 6371000     		dl = 204.06312999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83924888-0.83921685) × R
    3.20299999999607e-05 × 6371000     		dr = 204.06312999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00939563--0.00934770) × cos(0.83924888) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.66802195384399 × 6371000     		do = 203.988539910366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00939563--0.00934770) × cos(0.83921685) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.668045788355653 × 6371000     		du = 203.995818065232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83924888)-sin(0.83921685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66802195384399-0.668045788355653)×R²
    abs(-0.00934770--0.00939563)×2.38345116631011e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38345116631011e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38345116631011e-05×40589641000000     		ar = 41627.2825432775m²