Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65312 / 45664
↖ ↑ ↗
← N 47.813154°
W  0.615235°		 ← 205.11 m → N 47.813154°
W  0.612488°		 →
↑
205.08 m
↓
↑
205.08 m
↓
N 47.811310°
W  0.615235°		 ← 205.12 m →
42 065 m²		 N 47.811310°
W  0.612488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45664 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498294830322266 y=0.348392486572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498294830322266 × 217)
    floor (0.498294830322266 × 131072)
    floor (65312.5)     		tx = 65312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348392486572266 × 217)
    floor (0.348392486572266 × 131072)
    floor (45664.5)     		ty = 45664
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65312 / 45664 ti = "17/65312/45664"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65312/45664.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65312 ÷ 217
    65312 ÷ 131072     		x = 0.498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45664 ÷ 217
    45664 ÷ 131072     		y = 0.348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348388671875 × 2 - 1) × π
    0.30322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.952602069249756
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01073787} λ = -0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952602069249756))-π/2
    2×atan(2.59244661612202)-π/2
    2×1.20264664943614-π/2
    2.40529329887227-1.57079632675     		φ = 0.83449697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83449697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.813154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65312 KachelY 45664 -0.01073787 0.83449697 -0.615235 47.813154
    Oben rechts KachelX + 1 65313 KachelY 45664 -0.01068993 0.83449697 -0.612488 47.813154
    Unten links KachelX 65312 KachelY + 1 45665 -0.01073787 0.83446478 -0.615235 47.811310
    Unten rechts KachelX + 1 65313 KachelY + 1 45665 -0.01068993 0.83446478 -0.612488 47.811310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83449697-0.83446478) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dl = 205.08248999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83449697-0.83446478) × R
    3.21899999999875e-05 × 6371000     		dr = 205.08248999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01073787--0.01068993) × cos(0.83449697) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.671550492111287 × 6371000     		do = 205.108806000453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01073787--0.01068993) × cos(0.83446478) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.671574343226979 × 6371000     		du = 205.116090745113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83449697)-sin(0.83446478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671550492111287-0.671574343226979)×R²
    abs(-0.01068993--0.01073787)×2.38511156921417e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38511156921417e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38511156921417e-05×40589641000000     		ar = 42064.971645822m²