Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65312 / 45600
↖ ↑ ↗
← N 47.931066°
W  0.615235°		 ← 204.64 m → N 47.931066°
W  0.612488°		 →
↑
204.64 m
↓
↑
204.64 m
↓
N 47.929226°
W  0.615235°		 ← 204.65 m →
41 878 m²		 N 47.929226°
W  0.612488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498294830322266 y=0.347904205322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498294830322266 × 217)
    floor (0.498294830322266 × 131072)
    floor (65312.5)     		tx = 65312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347904205322266 × 217)
    floor (0.347904205322266 × 131072)
    floor (45600.5)     		ty = 45600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65312 / 45600 ti = "17/65312/45600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65312/45600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65312 ÷ 217
    65312 ÷ 131072     		x = 0.498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45600 ÷ 217
    45600 ÷ 131072     		y = 0.347900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347900390625 × 2 - 1) × π
    0.30419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.955670030825439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01073787} λ = -0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.955670030825439))-π/2
    2×atan(2.60041235577083)-π/2
    2×1.20367562426625-π/2
    2.40735124853249-1.57079632675     		φ = 0.83655492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83655492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.931066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65312 KachelY 45600 -0.01073787 0.83655492 -0.615235 47.931066
    Oben rechts KachelX + 1 65313 KachelY 45600 -0.01068993 0.83655492 -0.612488 47.931066
    Unten links KachelX 65312 KachelY + 1 45601 -0.01073787 0.83652280 -0.615235 47.929226
    Unten rechts KachelX + 1 65313 KachelY + 1 45601 -0.01068993 0.83652280 -0.612488 47.929226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83655492-0.83652280) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dl = 204.636519999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83655492-0.83652280) × R
    3.21199999999688e-05 × 6371000     		dr = 204.636519999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01073787--0.01068993) × cos(0.83655492) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.670024214973752 × 6371000     		do = 204.642641676276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01073787--0.01068993) × cos(0.83652280) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.670048058564596 × 6371000     		du = 204.649924122654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83655492)-sin(0.83652280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670024214973752-0.670048058564596)×R²
    abs(-0.01068993--0.01073787)×2.38435908432866e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38435908432866e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38435908432866e-05×40589641000000     		ar = 41878.1031671051m²