Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65311 / 47713
↖ ↑ ↗
← N 43.895913°
W  0.617981°		 ← 220.04 m → N 43.895913°
W  0.615235°		 →
↑
220.05 m
↓
↑
220.05 m
↓
N 43.893934°
W  0.617981°		 ← 220.05 m →
48 422 m²		 N 43.893934°
W  0.615235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498287200927734 y=0.364025115966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498287200927734 × 217)
    floor (0.498287200927734 × 131072)
    floor (65311.5)     		tx = 65311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.364025115966797 × 217)
    floor (0.364025115966797 × 131072)
    floor (47713.5)     		ty = 47713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65311 / 47713 ti = "17/65311/47713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65311/47713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65311 ÷ 217
    65311 ÷ 131072     		x = 0.498283386230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47713 ÷ 217
    47713 ÷ 131072     		y = 0.364021301269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498283386230469 × 2 - 1) × π
    -0.0034332275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01078580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364021301269531 × 2 - 1) × π
    0.271957397460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.854379361928261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01078580} λ = -0.01078580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.854379361928261))-π/2
    2×atan(2.34991548088458)-π/2
    2×1.16846227045393-π/2
    2.33692454090786-1.57079632675     		φ = 0.76612821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01078580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.617981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76612821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.895913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65311 KachelY 47713 -0.01078580 0.76612821 -0.617981 43.895913
    Oben rechts KachelX + 1 65312 KachelY 47713 -0.01073787 0.76612821 -0.615235 43.895913
    Unten links KachelX 65311 KachelY + 1 47714 -0.01078580 0.76609367 -0.617981 43.893934
    Unten rechts KachelX + 1 65312 KachelY + 1 47714 -0.01073787 0.76609367 -0.615235 43.893934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76612821-0.76609367) × R
    3.45400000000273e-05 × 6371000     		dl = 220.054340000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76612821-0.76609367) × R
    3.45400000000273e-05 × 6371000     		dr = 220.054340000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01078580--0.01073787) × cos(0.76612821) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.720600571326677 × 6371000     		do = 220.044053279473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01078580--0.01073787) × cos(0.76609367) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.720624519220628 × 6371000     		du = 220.051366056984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76612821)-sin(0.76609367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.720600571326677-0.720624519220628)×R²
    abs(-0.01073787--0.01078580)×2.39478939507709e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39478939507709e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39478939507709e-05×40589641000000     		ar = 48422.4535243137m²