Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65305 / 44765
↖ ↑ ↗
← N 49.444915°
W  0.634460°		 ← 198.54 m → N 49.444915°
W  0.631714°		 →
↑
198.58 m
↓
↑
198.58 m
↓
N 49.443129°
W  0.634460°		 ← 198.55 m →
39 428 m²		 N 49.443129°
W  0.631714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498241424560547 y=0.341533660888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498241424560547 × 217)
    floor (0.498241424560547 × 131072)
    floor (65305.5)     		tx = 65305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341533660888672 × 217)
    floor (0.341533660888672 × 131072)
    floor (44765.5)     		ty = 44765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65305 / 44765 ti = "17/65305/44765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65305/44765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65305 ÷ 217
    65305 ÷ 131072     		x = 0.498237609863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44765 ÷ 217
    44765 ÷ 131072     		y = 0.341529846191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498237609863281 × 2 - 1) × π
    -0.0035247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01107342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341529846191406 × 2 - 1) × π
    0.316940307617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.995697342008186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01107342} λ = -0.01107342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995697342008186))-π/2
    2×atan(2.70661111697071)-π/2
    2×1.21688644210795-π/2
    2.4337728842159-1.57079632675     		φ = 0.86297656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01107342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.634460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86297656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.444915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65305 KachelY 44765 -0.01107342 0.86297656 -0.634460 49.444915
    Oben rechts KachelX + 1 65306 KachelY 44765 -0.01102549 0.86297656 -0.631714 49.444915
    Unten links KachelX 65305 KachelY + 1 44766 -0.01107342 0.86294539 -0.634460 49.443129
    Unten rechts KachelX + 1 65306 KachelY + 1 44766 -0.01102549 0.86294539 -0.631714 49.443129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86297656-0.86294539) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dl = 198.584069999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86297656-0.86294539) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dr = 198.584069999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01107342--0.01102549) × cos(0.86297656) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.650178817369711 × 6371000     		do = 198.539923535013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01107342--0.01102549) × cos(0.86294539) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.650202499434552 × 6371000     		du = 198.547155138408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86297656)-sin(0.86294539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650178817369711-0.650202499434552)×R²
    abs(-0.01102549--0.01107342)×2.36820648419345e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.36820648419345e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.36820648419345e-05×40589641000000     		ar = 39427.5841169026m²