Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65303 / 47856
↖ ↑ ↗
← N 43.612217°
W  0.639954°		 ← 221.14 m → N 43.612217°
W  0.637207°		 →
↑
221.14 m
↓
↑
221.14 m
↓
N 43.610228°
W  0.639954°		 ← 221.14 m →
48 902 m²		 N 43.610228°
W  0.637207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498226165771484 y=0.365116119384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498226165771484 × 217)
    floor (0.498226165771484 × 131072)
    floor (65303.5)     		tx = 65303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365116119384766 × 217)
    floor (0.365116119384766 × 131072)
    floor (47856.5)     		ty = 47856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65303 / 47856 ti = "17/65303/47856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65303/47856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65303 ÷ 217
    65303 ÷ 131072     		x = 0.498222351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47856 ÷ 217
    47856 ÷ 131072     		y = 0.3651123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498222351074219 × 2 - 1) × π
    -0.0035552978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01116930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3651123046875 × 2 - 1) × π
    0.269775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.847524385282593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01116930} λ = -0.01116930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.847524385282593))-π/2
    2×atan(2.33386195129288)-π/2
    2×1.16598655173775-π/2
    2.3319731034755-1.57079632675     		φ = 0.76117678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01116930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.639954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76117678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.612217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65303 KachelY 47856 -0.01116930 0.76117678 -0.639954 43.612217
    Oben rechts KachelX + 1 65304 KachelY 47856 -0.01112136 0.76117678 -0.637207 43.612217
    Unten links KachelX 65303 KachelY + 1 47857 -0.01116930 0.76114207 -0.639954 43.610228
    Unten rechts KachelX + 1 65304 KachelY + 1 47857 -0.01112136 0.76114207 -0.637207 43.610228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76117678-0.76114207) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dl = 221.137409999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76117678-0.76114207) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dr = 221.137409999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01116930--0.01112136) × cos(0.76117678) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.724024800069398 × 6371000     		do = 221.135810339547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01116930--0.01112136) × cos(0.76114207) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.724048741686718 × 6371000     		du = 221.143122725734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76117678)-sin(0.76114207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724024800069398-0.724048741686718)×R²
    abs(-0.01112136--0.01116930)×2.39416173204443e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39416173204443e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39416173204443e-05×40589641000000     		ar = 48902.2088826186m²