Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65303 / 47855
↖ ↑ ↗
← N 43.614205°
W  0.639954°		 ← 221.13 m → N 43.614205°
W  0.637207°		 →
↑
221.07 m
↓
↑
221.07 m
↓
N 43.612217°
W  0.639954°		 ← 221.14 m →
48 887 m²		 N 43.612217°
W  0.637207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498226165771484 y=0.365108489990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498226165771484 × 217)
    floor (0.498226165771484 × 131072)
    floor (65303.5)     		tx = 65303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365108489990234 × 217)
    floor (0.365108489990234 × 131072)
    floor (47855.5)     		ty = 47855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65303 / 47855 ti = "17/65303/47855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65303/47855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65303 ÷ 217
    65303 ÷ 131072     		x = 0.498222351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47855 ÷ 217
    47855 ÷ 131072     		y = 0.365104675292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498222351074219 × 2 - 1) × π
    -0.0035552978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01116930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365104675292969 × 2 - 1) × π
    0.269790649414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.847572322182213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01116930} λ = -0.01116930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.847572322182213))-π/2
    2×atan(2.33397383208055)-π/2
    2×1.16600390520298-π/2
    2.33200781040596-1.57079632675     		φ = 0.76121148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01116930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.639954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76121148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.614205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65303 KachelY 47855 -0.01116930 0.76121148 -0.639954 43.614205
    Oben rechts KachelX + 1 65304 KachelY 47855 -0.01112136 0.76121148 -0.637207 43.614205
    Unten links KachelX 65303 KachelY + 1 47856 -0.01116930 0.76117678 -0.639954 43.612217
    Unten rechts KachelX + 1 65304 KachelY + 1 47856 -0.01112136 0.76117678 -0.637207 43.612217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76121148-0.76117678) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dl = 221.073700000345m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76121148-0.76117678) × R
    3.47000000000541e-05 × 6371000     		dr = 221.073700000345m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01116930--0.01112136) × cos(0.76121148) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.724000864477774 × 6371000     		do = 221.128499793763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01116930--0.01112136) × cos(0.76117678) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.724024800069398 × 6371000     		du = 221.135810339547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76121148)-sin(0.76117678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724000864477774-0.724024800069398)×R²
    abs(-0.01112136--0.01116930)×2.39355916232808e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39355916232808e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39355916232808e-05×40589641000000     		ar = 48886.503714586m²