Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65302 / 44771
↖ ↑ ↗
← N 49.434199°
W  0.642700°		 ← 198.58 m → N 49.434199°
W  0.639954°		 →
↑
198.58 m
↓
↑
198.58 m
↓
N 49.432413°
W  0.642700°		 ← 198.59 m →
39 436 m²		 N 49.432413°
W  0.639954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498218536376953 y=0.341579437255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498218536376953 × 217)
    floor (0.498218536376953 × 131072)
    floor (65302.5)     		tx = 65302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341579437255859 × 217)
    floor (0.341579437255859 × 131072)
    floor (44771.5)     		ty = 44771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65302 / 44771 ti = "17/65302/44771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65302/44771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65302 ÷ 217
    65302 ÷ 131072     		x = 0.498214721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44771 ÷ 217
    44771 ÷ 131072     		y = 0.341575622558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498214721679688 × 2 - 1) × π
    -0.003570556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01121723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341575622558594 × 2 - 1) × π
    0.316848754882812 × 3.1415926535     		Φ = 0.995409720610466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01121723} λ = -0.01121723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995409720610466))-π/2
    2×atan(2.70583274964107)-π/2
    2×1.21679292922082-π/2
    2.43358585844164-1.57079632675     		φ = 0.86278953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01121723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.642700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86278953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.434199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65302 KachelY 44771 -0.01121723 0.86278953 -0.642700 49.434199
    Oben rechts KachelX + 1 65303 KachelY 44771 -0.01116930 0.86278953 -0.639954 49.434199
    Unten links KachelX 65302 KachelY + 1 44772 -0.01121723 0.86275836 -0.642700 49.432413
    Unten rechts KachelX + 1 65303 KachelY + 1 44772 -0.01116930 0.86275836 -0.639954 49.432413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86278953-0.86275836) × R
    3.11700000000803e-05 × 6371000     		dl = 198.584070000512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86278953-0.86275836) × R
    3.11700000000803e-05 × 6371000     		dr = 198.584070000512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01121723--0.01116930) × cos(0.86278953) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.650320907879151 × 6371000     		do = 198.58331258142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01121723--0.01116930) × cos(0.86275836) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.650344586153146 × 6371000     		du = 198.590543027234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86278953)-sin(0.86275836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650320907879151-0.650344586153146)×R²
    abs(-0.01116930--0.01121723)×2.36782739950758e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.36782739950758e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.36782739950758e-05×40589641000000     		ar = 39436.200375461m²