Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65301 / 47885
↖ ↑ ↗
← N 43.554520°
W  0.645447°		 ← 221.35 m → N 43.554520°
W  0.642700°		 →
↑
221.33 m
↓
↑
221.33 m
↓
N 43.552530°
W  0.645447°		 ← 221.36 m →
48 991 m²		 N 43.552530°
W  0.642700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498210906982422 y=0.365337371826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498210906982422 × 217)
    floor (0.498210906982422 × 131072)
    floor (65301.5)     		tx = 65301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365337371826172 × 217)
    floor (0.365337371826172 × 131072)
    floor (47885.5)     		ty = 47885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65301 / 47885 ti = "17/65301/47885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65301/47885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65301 ÷ 217
    65301 ÷ 131072     		x = 0.498207092285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47885 ÷ 217
    47885 ÷ 131072     		y = 0.365333557128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498207092285156 × 2 - 1) × π
    -0.0035858154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01126517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365333557128906 × 2 - 1) × π
    0.269332885742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.846134215193611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01126517} λ = -0.01126517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.846134215193611))-π/2
    2×atan(2.33061974035087)-π/2
    2×1.16548305164551-π/2
    2.33096610329102-1.57079632675     		φ = 0.76016978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01126517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.645447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76016978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.554520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65301 KachelY 47885 -0.01126517 0.76016978 -0.645447 43.554520
    Oben rechts KachelX + 1 65302 KachelY 47885 -0.01121723 0.76016978 -0.642700 43.554520
    Unten links KachelX 65301 KachelY + 1 47886 -0.01126517 0.76013504 -0.645447 43.552530
    Unten rechts KachelX + 1 65302 KachelY + 1 47886 -0.01121723 0.76013504 -0.642700 43.552530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76016978-0.76013504) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dl = 221.328540000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76016978-0.76013504) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dr = 221.328540000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01126517--0.01121723) × cos(0.76016978) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.724719035211727 × 6371000     		do = 221.347847621627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01126517--0.01121723) × cos(0.76013504) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.724742972180257 × 6371000     		du = 221.355158587954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76016978)-sin(0.76013504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724719035211727-0.724742972180257)×R²
    abs(-0.01121723--0.01126517)×2.39369685302027e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39369685302027e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39369685302027e-05×40589641000000     		ar = 48991.4050138322m²