Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65298 / 47857
↖ ↑ ↗
← N 43.610228°
W  0.653686°		 ← 221.10 m → N 43.610228°
W  0.650940°		 →
↑
221.14 m
↓
↑
221.14 m
↓
N 43.608239°
W  0.653686°		 ← 221.10 m →
48 894 m²		 N 43.608239°
W  0.650940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47857 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498188018798828 y=0.365123748779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498188018798828 × 217)
    floor (0.498188018798828 × 131072)
    floor (65298.5)     		tx = 65298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365123748779297 × 217)
    floor (0.365123748779297 × 131072)
    floor (47857.5)     		ty = 47857
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65298 / 47857 ti = "17/65298/47857"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65298/47857.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65298 ÷ 217
    65298 ÷ 131072     		x = 0.498184204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47857 ÷ 217
    47857 ÷ 131072     		y = 0.365119934082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498184204101562 × 2 - 1) × π
    -0.003631591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01140898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365119934082031 × 2 - 1) × π
    0.269760131835938 × 3.1415926535     		Φ = 0.847476448382973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01140898} λ = -0.01140898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.847476448382973))-π/2
    2×atan(2.33375007586829)-π/2
    2×1.16596919769871-π/2
    2.33193839539742-1.57079632675     		φ = 0.76114207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01140898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.653686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76114207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.610228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65298 KachelY 47857 -0.01140898 0.76114207 -0.653686 43.610228
    Oben rechts KachelX + 1 65299 KachelY 47857 -0.01136105 0.76114207 -0.650940 43.610228
    Unten links KachelX 65298 KachelY + 1 47858 -0.01140898 0.76110736 -0.653686 43.608239
    Unten rechts KachelX + 1 65299 KachelY + 1 47858 -0.01136105 0.76110736 -0.650940 43.608239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76114207-0.76110736) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dl = 221.137409999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76114207-0.76110736) × R
    3.47099999999934e-05 × 6371000     		dr = 221.137409999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01140898--0.01136105) × cos(0.76114207) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.724048741686718 × 6371000     		do = 221.096993580409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01140898--0.01136105) × cos(0.76110736) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.724072682431716 × 6371000     		du = 221.104304174901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76114207)-sin(0.76110736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724048741686718-0.724072682431716)×R²
    abs(-0.01136105--0.01140898)×2.39407449980078e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39407449980078e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39407449980078e-05×40589641000000     		ar = 48893.6248471152m²