Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65294 / 47881
↖ ↑ ↗
← N 43.562481°
W  0.664673°		 ← 221.32 m → N 43.562481°
W  0.661926°		 →
↑
221.33 m
↓
↑
221.33 m
↓
N 43.560491°
W  0.664673°		 ← 221.33 m →
48 985 m²		 N 43.560491°
W  0.661926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498157501220703 y=0.365306854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498157501220703 × 217)
    floor (0.498157501220703 × 131072)
    floor (65294.5)     		tx = 65294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365306854248047 × 217)
    floor (0.365306854248047 × 131072)
    floor (47881.5)     		ty = 47881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65294 / 47881 ti = "17/65294/47881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65294/47881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65294 ÷ 217
    65294 ÷ 131072     		x = 0.498153686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47881 ÷ 217
    47881 ÷ 131072     		y = 0.365303039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498153686523438 × 2 - 1) × π
    -0.003692626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01160073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365303039550781 × 2 - 1) × π
    0.269393920898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.846325962792091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01160073} λ = -0.01160073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.846325962792091))-π/2
    2×atan(2.3310666739369)-π/2
    2×1.16555252862296-π/2
    2.33110505724592-1.57079632675     		φ = 0.76030873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01160073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.664673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76030873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.562481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65294 KachelY 47881 -0.01160073 0.76030873 -0.664673 43.562481
    Oben rechts KachelX + 1 65295 KachelY 47881 -0.01155279 0.76030873 -0.661926 43.562481
    Unten links KachelX 65294 KachelY + 1 47882 -0.01160073 0.76027399 -0.664673 43.560491
    Unten rechts KachelX + 1 65295 KachelY + 1 47882 -0.01155279 0.76027399 -0.661926 43.560491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76030873-0.76027399) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dl = 221.328540000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76030873-0.76027399) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dr = 221.328540000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01160073--0.01155279) × cos(0.76030873) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.724623285482948 × 6371000     		do = 221.31860318986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01160073--0.01155279) × cos(0.76027399) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.724647225949613 × 6371000     		du = 221.325915224607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76030873)-sin(0.76027399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724623285482948-0.724647225949613)×R²
    abs(-0.01155279--0.01160073)×2.39404666647625e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39404666647625e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39404666647625e-05×40589641000000     		ar = 48984.9325047054m²