Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65292 / 44810
↖ ↑ ↗
← N 49.364489°
W  0.670166°		 ← 198.87 m → N 49.364489°
W  0.667420°		 →
↑
198.90 m
↓
↑
198.90 m
↓
N 49.362700°
W  0.670166°		 ← 198.87 m →
39 556 m²		 N 49.362700°
W  0.667420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498142242431641 y=0.341876983642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498142242431641 × 217)
    floor (0.498142242431641 × 131072)
    floor (65292.5)     		tx = 65292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341876983642578 × 217)
    floor (0.341876983642578 × 131072)
    floor (44810.5)     		ty = 44810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65292 / 44810 ti = "17/65292/44810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65292/44810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65292 ÷ 217
    65292 ÷ 131072     		x = 0.498138427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44810 ÷ 217
    44810 ÷ 131072     		y = 0.341873168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498138427734375 × 2 - 1) × π
    -0.00372314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01169660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341873168945312 × 2 - 1) × π
    0.316253662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.993540181525284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01169660} λ = -0.01169660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993540181525284))-π/2
    2×atan(2.70077881529358)-π/2
    2×1.21618459731603-π/2
    2.43236919463206-1.57079632675     		φ = 0.86157287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01169660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.670166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86157287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.364489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65292 KachelY 44810 -0.01169660 0.86157287 -0.670166 49.364489
    Oben rechts KachelX + 1 65293 KachelY 44810 -0.01164867 0.86157287 -0.667420 49.364489
    Unten links KachelX 65292 KachelY + 1 44811 -0.01169660 0.86154165 -0.670166 49.362700
    Unten rechts KachelX + 1 65293 KachelY + 1 44811 -0.01164867 0.86154165 -0.667420 49.362700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86157287-0.86154165) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dl = 198.90261999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86157287-0.86154165) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dr = 198.90261999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01169660--0.01164867) × cos(0.86157287) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.651244673784735 × 6371000     		do = 198.865395613594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01169660--0.01164867) × cos(0.86154165) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.651268365320828 × 6371000     		du = 198.872630109149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86157287)-sin(0.86154165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651244673784735-0.651268365320828)×R²
    abs(-0.01164867--0.01169660)×2.36915360927181e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.36915360927181e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.36915360927181e-05×40589641000000     		ar = 39555.5676982548m²