Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65287 / 48393
↖ ↑ ↗
← N 42.534868°
W  0.683899°		 ← 225.06 m → N 42.534868°
W  0.681152°		 →
↑
225.09 m
↓
↑
225.09 m
↓
N 42.532844°
W  0.683899°		 ← 225.07 m →
50 659 m²		 N 42.532844°
W  0.681152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498104095458984 y=0.369213104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498104095458984 × 217)
    floor (0.498104095458984 × 131072)
    floor (65287.5)     		tx = 65287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369213104248047 × 217)
    floor (0.369213104248047 × 131072)
    floor (48393.5)     		ty = 48393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65287 / 48393 ti = "17/65287/48393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65287/48393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65287 ÷ 217
    65287 ÷ 131072     		x = 0.498100280761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48393 ÷ 217
    48393 ÷ 131072     		y = 0.369209289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498100280761719 × 2 - 1) × π
    -0.0037994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01193629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369209289550781 × 2 - 1) × π
    0.261581420898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.821782270186623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01193629} λ = -0.01193629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.821782270186623))-π/2
    2×atan(2.27455008995151)-π/2
    2×1.15658491168912-π/2
    2.31316982337824-1.57079632675     		φ = 0.74237350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01193629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.683899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74237350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.534868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65287 KachelY 48393 -0.01193629 0.74237350 -0.683899 42.534868
    Oben rechts KachelX + 1 65288 KachelY 48393 -0.01188835 0.74237350 -0.681152 42.534868
    Unten links KachelX 65287 KachelY + 1 48394 -0.01193629 0.74233817 -0.683899 42.532844
    Unten rechts KachelX + 1 65288 KachelY + 1 48394 -0.01188835 0.74233817 -0.681152 42.532844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74237350-0.74233817) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dl = 225.087430000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74237350-0.74233817) × R
    3.53300000000001e-05 × 6371000     		dr = 225.087430000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01193629--0.01188835) × cos(0.74237350) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.736866057792835 × 6371000     		do = 225.057860982258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01193629--0.01188835) × cos(0.74233817) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.736889941782544 × 6371000     		du = 225.06515576749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74237350)-sin(0.74233817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736866057792835-0.736889941782544)×R²
    abs(-0.01188835--0.01193629)×2.38839897095389e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38839897095389e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38839897095389e-05×40589641000000     		ar = 50658.5165173021m²