Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65285 / 48387
↖ ↑ ↗
← N 42.547010°
W  0.689392°		 ← 225.01 m → N 42.547010°
W  0.686645°		 →
↑
224.96 m
↓
↑
224.96 m
↓
N 42.544987°
W  0.689392°		 ← 225.02 m →
50 620 m²		 N 42.544987°
W  0.686645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498088836669922 y=0.369167327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498088836669922 × 217)
    floor (0.498088836669922 × 131072)
    floor (65285.5)     		tx = 65285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369167327880859 × 217)
    floor (0.369167327880859 × 131072)
    floor (48387.5)     		ty = 48387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65285 / 48387 ti = "17/65285/48387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65285/48387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65285 ÷ 217
    65285 ÷ 131072     		x = 0.498085021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48387 ÷ 217
    48387 ÷ 131072     		y = 0.369163513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498085021972656 × 2 - 1) × π
    -0.0038299560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01203216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369163513183594 × 2 - 1) × π
    0.261672973632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.822069891584343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01203216} λ = -0.01203216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.822069891584343))-π/2
    2×atan(2.27520439331888)-π/2
    2×1.15669087060957-π/2
    2.31338174121913-1.57079632675     		φ = 0.74258541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01203216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.689392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74258541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.547010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65285 KachelY 48387 -0.01203216 0.74258541 -0.689392 42.547010
    Oben rechts KachelX + 1 65286 KachelY 48387 -0.01198422 0.74258541 -0.686645 42.547010
    Unten links KachelX 65285 KachelY + 1 48388 -0.01203216 0.74255010 -0.689392 42.544987
    Unten rechts KachelX + 1 65286 KachelY + 1 48388 -0.01198422 0.74255010 -0.686645 42.544987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74258541-0.74255010) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dl = 224.960010000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74258541-0.74255010) × R
    3.53100000000106e-05 × 6371000     		dr = 224.960010000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01203216--0.01198422) × cos(0.74258541) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.736722781874247 × 6371000     		do = 225.0141008288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01203216--0.01198422) × cos(0.74255010) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.736746657856887 × 6371000     		du = 225.021393168466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74258541)-sin(0.74255010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736722781874247-0.736746657856887)×R²
    abs(-0.01198422--0.01203216)×2.38759826394208e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38759826394208e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38759826394208e-05×40589641000000     		ar = 50619.9946201455m²