Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65283 / 47873
↖ ↑ ↗
← N 43.578401°
W  0.694886°		 ← 221.26 m → N 43.578401°
W  0.692139°		 →
↑
221.20 m
↓
↑
221.20 m
↓
N 43.576412°
W  0.694886°		 ← 221.27 m →
48 944 m²		 N 43.576412°
W  0.692139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498073577880859 y=0.365245819091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498073577880859 × 217)
    floor (0.498073577880859 × 131072)
    floor (65283.5)     		tx = 65283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365245819091797 × 217)
    floor (0.365245819091797 × 131072)
    floor (47873.5)     		ty = 47873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65283 / 47873 ti = "17/65283/47873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65283/47873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65283 ÷ 217
    65283 ÷ 131072     		x = 0.498069763183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47873 ÷ 217
    47873 ÷ 131072     		y = 0.365242004394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498069763183594 × 2 - 1) × π
    -0.0038604736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01212804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365242004394531 × 2 - 1) × π
    0.269515991210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.846709457989052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01212804} λ = -0.01212804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.846709457989052))-π/2
    2×atan(2.33196079824538)-π/2
    2×1.16569145503709-π/2
    2.33138291007419-1.57079632675     		φ = 0.76058658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01212804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.694886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76058658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.578401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65283 KachelY 47873 -0.01212804 0.76058658 -0.694886 43.578401
    Oben rechts KachelX + 1 65284 KachelY 47873 -0.01208010 0.76058658 -0.692139 43.578401
    Unten links KachelX 65283 KachelY + 1 47874 -0.01212804 0.76055186 -0.694886 43.576412
    Unten rechts KachelX + 1 65284 KachelY + 1 47874 -0.01208010 0.76055186 -0.692139 43.576412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76058658-0.76055186) × R
    3.47200000000436e-05 × 6371000     		dl = 221.201120000278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76058658-0.76055186) × R
    3.47200000000436e-05 × 6371000     		dr = 221.201120000278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01212804--0.01208010) × cos(0.76058658) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.724431778523437 × 6371000     		do = 221.260112035036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01212804--0.01208010) × cos(0.76055186) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.724455712197299 × 6371000     		du = 221.267421995086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76058658)-sin(0.76055186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724431778523437-0.724455712197299)×R²
    abs(-0.01208010--0.01212804)×2.39336738621088e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39336738621088e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39336738621088e-05×40589641000000     		ar = 48943.7930842962m²