Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65273 / 44809
↖ ↑ ↗
← N 49.366278°
W  0.722351°		 ← 198.86 m → N 49.366278°
W  0.719605°		 →
↑
198.90 m
↓
↑
198.90 m
↓
N 49.364489°
W  0.722351°		 ← 198.87 m →
39 554 m²		 N 49.364489°
W  0.719605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497997283935547 y=0.341869354248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497997283935547 × 217)
    floor (0.497997283935547 × 131072)
    floor (65273.5)     		tx = 65273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341869354248047 × 217)
    floor (0.341869354248047 × 131072)
    floor (44809.5)     		ty = 44809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65273 / 44809 ti = "17/65273/44809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65273/44809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65273 ÷ 217
    65273 ÷ 131072     		x = 0.497993469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44809 ÷ 217
    44809 ÷ 131072     		y = 0.341865539550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497993469238281 × 2 - 1) × π
    -0.0040130615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01260740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341865539550781 × 2 - 1) × π
    0.316268920898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.993588118424904
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01260740} λ = -0.01260740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993588118424904))-π/2
    2×atan(2.70090828535972)-π/2
    2×1.21620020635743-π/2
    2.43240041271486-1.57079632675     		φ = 0.86160409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01260740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.722351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86160409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.366278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65273 KachelY 44809 -0.01260740 0.86160409 -0.722351 49.366278
    Oben rechts KachelX + 1 65274 KachelY 44809 -0.01255947 0.86160409 -0.719605 49.366278
    Unten links KachelX 65273 KachelY + 1 44810 -0.01260740 0.86157287 -0.722351 49.364489
    Unten rechts KachelX + 1 65274 KachelY + 1 44810 -0.01255947 0.86157287 -0.719605 49.364489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86160409-0.86157287) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dl = 198.90261999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86160409-0.86157287) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dr = 198.90261999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01260740--0.01255947) × cos(0.86160409) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.651220981613881 × 6371000     		do = 198.858160924207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01260740--0.01255947) × cos(0.86157287) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.651244673784735 × 6371000     		du = 198.865395613594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86160409)-sin(0.86157287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651220981613881-0.651244673784735)×R²
    abs(-0.01255947--0.01260740)×2.36921708534066e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.36921708534066e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.36921708534066e-05×40589641000000     		ar = 39554.1287186389m²