Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65272 / 45688
↖ ↑ ↗
← N 47.768868°
W  0.725098°		 ← 205.28 m → N 47.768868°
W  0.722351°		 →
↑
205.27 m
↓
↑
205.27 m
↓
N 47.767022°
W  0.725098°		 ← 205.29 m →
42 140 m²		 N 47.767022°
W  0.722351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497989654541016 y=0.348575592041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497989654541016 × 217)
    floor (0.497989654541016 × 131072)
    floor (65272.5)     		tx = 65272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348575592041016 × 217)
    floor (0.348575592041016 × 131072)
    floor (45688.5)     		ty = 45688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65272 / 45688 ti = "17/65272/45688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65272/45688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65272 ÷ 217
    65272 ÷ 131072     		x = 0.49798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45688 ÷ 217
    45688 ÷ 131072     		y = 0.34857177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.0040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01265534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34857177734375 × 2 - 1) × π
    0.3028564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.951451583658875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01265534} λ = -0.01265534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951451583658875))-π/2
    2×atan(2.5894657586906)-π/2
    2×1.20226018019127-π/2
    2.40452036038253-1.57079632675     		φ = 0.83372403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01265534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83372403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.768868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65272 KachelY 45688 -0.01265534 0.83372403 -0.725098 47.768868
    Oben rechts KachelX + 1 65273 KachelY 45688 -0.01260740 0.83372403 -0.722351 47.768868
    Unten links KachelX 65272 KachelY + 1 45689 -0.01265534 0.83369181 -0.725098 47.767022
    Unten rechts KachelX + 1 65273 KachelY + 1 45689 -0.01260740 0.83369181 -0.722351 47.767022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83372403-0.83369181) × R
    3.22199999999162e-05 × 6371000     		dl = 205.273619999466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83372403-0.83369181) × R
    3.22199999999162e-05 × 6371000     		dr = 205.273619999466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01265534--0.01260740) × cos(0.83372403) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.672123008141318 × 6371000     		do = 205.283667132587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01265534--0.01260740) × cos(0.83369181) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.67214686475332 × 6371000     		du = 205.290953555962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83372403)-sin(0.83369181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672123008141318-0.67214686475332)×R²
    abs(-0.01260740--0.01265534)×2.38566120015493e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38566120015493e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38566120015493e-05×40589641000000     		ar = 42140.069337971m²