Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65270 / 43926
↖ ↑ ↗
← N 50.920350°
W  0.730591°		 ← 192.54 m → N 50.920350°
W  0.727844°		 →
↑
192.53 m
↓
↑
192.53 m
↓
N 50.918619°
W  0.730591°		 ← 192.55 m →
37 071 m²		 N 50.918619°
W  0.727844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497974395751953 y=0.335132598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497974395751953 × 217)
    floor (0.497974395751953 × 131072)
    floor (65270.5)     		tx = 65270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335132598876953 × 217)
    floor (0.335132598876953 × 131072)
    floor (43926.5)     		ty = 43926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65270 / 43926 ti = "17/65270/43926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65270/43926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65270 ÷ 217
    65270 ÷ 131072     		x = 0.497970581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43926 ÷ 217
    43926 ÷ 131072     		y = 0.335128784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497970581054688 × 2 - 1) × π
    -0.004058837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01275122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335128784179688 × 2 - 1) × π
    0.329742431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03591640078941
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01275122} λ = -0.01275122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03591640078941))-π/2
    2×atan(2.81768718361144)-π/2
    2×1.22976204971777-π/2
    2.45952409943553-1.57079632675     		φ = 0.88872777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01275122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.730591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88872777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.920350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65270 KachelY 43926 -0.01275122 0.88872777 -0.730591 50.920350
    Oben rechts KachelX + 1 65271 KachelY 43926 -0.01270328 0.88872777 -0.727844 50.920350
    Unten links KachelX 65270 KachelY + 1 43927 -0.01275122 0.88869755 -0.730591 50.918619
    Unten rechts KachelX + 1 65271 KachelY + 1 43927 -0.01270328 0.88869755 -0.727844 50.918619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88872777-0.88869755) × R
    3.02200000000807e-05 × 6371000     		dl = 192.531620000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88872777-0.88869755) × R
    3.02200000000807e-05 × 6371000     		dr = 192.531620000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01275122--0.01270328) × cos(0.88872777) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.63040013092298 × 6371000     		do = 192.540426483247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01275122--0.01270328) × cos(0.88869755) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.63042358952546 × 6371000     		du = 192.547591344269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88872777)-sin(0.88869755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63040013092298-0.63042358952546)×R²
    abs(-0.01270328--0.01275122)×2.34586024804306e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.34586024804306e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.34586024804306e-05×40589641000000     		ar = 37070.8099602656m²