Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65268 / 44688
↖ ↑ ↗
← N 49.582226°
W  0.736084°		 ← 198.02 m → N 49.582226°
W  0.733337°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
N 49.580445°
W  0.736084°		 ← 198.03 m →
39 212 m²		 N 49.580445°
W  0.733337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497959136962891 y=0.340946197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497959136962891 × 217)
    floor (0.497959136962891 × 131072)
    floor (65268.5)     		tx = 65268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340946197509766 × 217)
    floor (0.340946197509766 × 131072)
    floor (44688.5)     		ty = 44688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65268 / 44688 ti = "17/65268/44688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65268/44688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65268 ÷ 217
    65268 ÷ 131072     		x = 0.497955322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44688 ÷ 217
    44688 ÷ 131072     		y = 0.3409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497955322265625 × 2 - 1) × π
    -0.00408935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01284709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3409423828125 × 2 - 1) × π
    0.318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.999388483278931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01284709} λ = -0.01284709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999388483278931))-π/2
    2×atan(2.71662006181919)-π/2
    2×1.21808471086156-π/2
    2.43616942172311-1.57079632675     		φ = 0.86537309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01284709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.736084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86537309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.582226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65268 KachelY 44688 -0.01284709 0.86537309 -0.736084 49.582226
    Oben rechts KachelX + 1 65269 KachelY 44688 -0.01279915 0.86537309 -0.733337 49.582226
    Unten links KachelX 65268 KachelY + 1 44689 -0.01284709 0.86534201 -0.736084 49.580445
    Unten rechts KachelX + 1 65269 KachelY + 1 44689 -0.01279915 0.86534201 -0.733337 49.580445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86537309-0.86534201) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dl = 198.010679999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86537309-0.86534201) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dr = 198.010679999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01284709--0.01279915) × cos(0.86537309) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.648356113517158 × 6371000     		do = 198.024645754501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01284709--0.01279915) × cos(0.86534201) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.648379775564552 × 6371000     		du = 198.031872752836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86537309)-sin(0.86534201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648356113517158-0.648379775564552)×R²
    abs(-0.01279915--0.01284709)×2.36620473936799e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36620473936799e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36620473936799e-05×40589641000000     		ar = 39211.7102770153m²