Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65265 / 47887
↖ ↑ ↗
← N 43.550539°
W  0.744324°		 ← 221.36 m → N 43.550539°
W  0.741577°		 →
↑
221.33 m
↓
↑
221.33 m
↓
N 43.548548°
W  0.744324°		 ← 221.37 m →
48 995 m²		 N 43.548548°
W  0.741577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497936248779297 y=0.365352630615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497936248779297 × 217)
    floor (0.497936248779297 × 131072)
    floor (65265.5)     		tx = 65265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365352630615234 × 217)
    floor (0.365352630615234 × 131072)
    floor (47887.5)     		ty = 47887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65265 / 47887 ti = "17/65265/47887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65265/47887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65265 ÷ 217
    65265 ÷ 131072     		x = 0.497932434082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47887 ÷ 217
    47887 ÷ 131072     		y = 0.365348815917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497932434082031 × 2 - 1) × π
    -0.0041351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01299090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.365348815917969 × 2 - 1) × π
    0.269302368164062 × 3.1415926535     		Φ = 0.846038341394371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01299090} λ = -0.01299090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.846038341394371))-π/2
    2×atan(2.33039630569271)-π/2
    2×1.16544830971424-π/2
    2.33089661942848-1.57079632675     		φ = 0.76010029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01299090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.744324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76010029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.550539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65265 KachelY 47887 -0.01299090 0.76010029 -0.744324 43.550539
    Oben rechts KachelX + 1 65266 KachelY 47887 -0.01294296 0.76010029 -0.741577 43.550539
    Unten links KachelX 65265 KachelY + 1 47888 -0.01299090 0.76006555 -0.744324 43.548548
    Unten rechts KachelX + 1 65266 KachelY + 1 47888 -0.01294296 0.76006555 -0.741577 43.548548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76010029-0.76006555) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dl = 221.328540000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76010029-0.76006555) × R
    3.47400000000331e-05 × 6371000     		dr = 221.328540000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01299090--0.01294296) × cos(0.76010029) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.72476691516406 × 6371000     		do = 221.362471391499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01299090--0.01294296) × cos(0.76006555) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.724790850382972 × 6371000     		du = 221.369781823448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76010029)-sin(0.76006555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72476691516406-0.724790850382972)×R²
    abs(-0.01294296--0.01299090)×2.39352189118636e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39352189118636e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39352189118636e-05×40589641000000     		ar = 48994.6416123228m²