Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65264 / 44678
↖ ↑ ↗
← N 49.600030°
W  0.747071°		 ← 197.95 m → N 49.600030°
W  0.744324°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
N 49.598250°
W  0.747071°		 ← 197.96 m →
39 185 m²		 N 49.598250°
W  0.744324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497928619384766 y=0.340869903564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497928619384766 × 217)
    floor (0.497928619384766 × 131072)
    floor (65264.5)     		tx = 65264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340869903564453 × 217)
    floor (0.340869903564453 × 131072)
    floor (44678.5)     		ty = 44678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65264 / 44678 ti = "17/65264/44678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65264/44678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65264 ÷ 217
    65264 ÷ 131072     		x = 0.4979248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44678 ÷ 217
    44678 ÷ 131072     		y = 0.340866088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4979248046875 × 2 - 1) × π
    -0.004150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01303884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340866088867188 × 2 - 1) × π
    0.318267822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.999867852275131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01303884} λ = -0.01303884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999867852275131))-π/2
    2×atan(2.71792263743352)-π/2
    2×1.21824008341359-π/2
    2.43648016682718-1.57079632675     		φ = 0.86568384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01303884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.747071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86568384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.600030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65264 KachelY 44678 -0.01303884 0.86568384 -0.747071 49.600030
    Oben rechts KachelX + 1 65265 KachelY 44678 -0.01299090 0.86568384 -0.744324 49.600030
    Unten links KachelX 65264 KachelY + 1 44679 -0.01303884 0.86565277 -0.747071 49.598250
    Unten rechts KachelX + 1 65265 KachelY + 1 44679 -0.01299090 0.86565277 -0.744324 49.598250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86568384-0.86565277) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dl = 197.94697000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86568384-0.86565277) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dr = 197.94697000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01303884--0.01299090) × cos(0.86568384) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.648119496677964 × 6371000     		do = 197.952376881294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01303884--0.01299090) × cos(0.86565277) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.648143157371039 × 6371000     		du = 197.959603465985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86568384)-sin(0.86565277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648119496677964-0.648143157371039)×R²
    abs(-0.01299090--0.01303884)×2.36606930749117e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36606930749117e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36606930749117e-05×40589641000000     		ar = 39184.7884513254m²