Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65260 / 44679
↖ ↑ ↗
← N 49.598250°
W  0.758056°		 ← 197.92 m → N 49.598250°
W  0.755310°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
N 49.596470°
W  0.758056°		 ← 197.93 m →
39 178 m²		 N 49.596470°
W  0.755310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497898101806641 y=0.340877532958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497898101806641 × 217)
    floor (0.497898101806641 × 131072)
    floor (65260.5)     		tx = 65260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340877532958984 × 217)
    floor (0.340877532958984 × 131072)
    floor (44679.5)     		ty = 44679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65260 / 44679 ti = "17/65260/44679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65260/44679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65260 ÷ 217
    65260 ÷ 131072     		x = 0.497894287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44679 ÷ 217
    44679 ÷ 131072     		y = 0.340873718261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497894287109375 × 2 - 1) × π
    -0.00421142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01323058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340873718261719 × 2 - 1) × π
    0.318252563476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.999819915375511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01323058} λ = -0.01323058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.999819915375511))-π/2
    2×atan(2.71779235177165)-π/2
    2×1.21822454871042-π/2
    2.43644909742083-1.57079632675     		φ = 0.86565277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01323058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.758056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86565277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.598250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65260 KachelY 44679 -0.01323058 0.86565277 -0.758056 49.598250
    Oben rechts KachelX + 1 65261 KachelY 44679 -0.01318265 0.86565277 -0.755310 49.598250
    Unten links KachelX 65260 KachelY + 1 44680 -0.01323058 0.86562170 -0.758056 49.596470
    Unten rechts KachelX + 1 65261 KachelY + 1 44680 -0.01318265 0.86562170 -0.755310 49.596470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86565277-0.86562170) × R
    3.10699999999109e-05 × 6371000     		dl = 197.946969999432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86565277-0.86562170) × R
    3.10699999999109e-05 × 6371000     		dr = 197.946969999432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01323058--0.01318265) × cos(0.86565277) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.648143157371039 × 6371000     		do = 197.918310265429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01323058--0.01318265) × cos(0.86562170) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.648166817438432 × 6371000     		du = 197.925535151638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86565277)-sin(0.86562170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648143157371039-0.648166817438432)×R²
    abs(-0.01318265--0.01323058)×2.3660067393183e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.3660067393183e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.3660067393183e-05×40589641000000     		ar = 39178.0448999398m²