Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65259 / 48022
↖ ↑ ↗
← N 43.281204°
W  0.760803°		 ← 222.35 m → N 43.281204°
W  0.758056°		 →
↑
222.35 m
↓
↑
222.35 m
↓
N 43.279205°
W  0.760803°		 ← 222.36 m →
49 440 m²		 N 43.279205°
W  0.758056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497890472412109 y=0.366382598876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497890472412109 × 217)
    floor (0.497890472412109 × 131072)
    floor (65259.5)     		tx = 65259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366382598876953 × 217)
    floor (0.366382598876953 × 131072)
    floor (48022.5)     		ty = 48022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65259 / 48022 ti = "17/65259/48022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65259/48022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65259 ÷ 217
    65259 ÷ 131072     		x = 0.497886657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48022 ÷ 217
    48022 ÷ 131072     		y = 0.366378784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497886657714844 × 2 - 1) × π
    -0.0042266845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01327852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366378784179688 × 2 - 1) × π
    0.267242431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.839566859945663
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01327852} λ = -0.01327852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839566859945663))-π/2
    2×atan(2.3153638827187)-π/2
    2×1.16309792445445-π/2
    2.3261958489089-1.57079632675     		φ = 0.75539952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01327852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.760803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75539952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.281204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65259 KachelY 48022 -0.01327852 0.75539952 -0.760803 43.281204
    Oben rechts KachelX + 1 65260 KachelY 48022 -0.01323058 0.75539952 -0.758056 43.281204
    Unten links KachelX 65259 KachelY + 1 48023 -0.01327852 0.75536462 -0.760803 43.279205
    Unten rechts KachelX + 1 65260 KachelY + 1 48023 -0.01323058 0.75536462 -0.758056 43.279205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75539952-0.75536462) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dl = 222.347899999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75539952-0.75536462) × R
    3.48999999999489e-05 × 6371000     		dr = 222.347899999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01327852--0.01323058) × cos(0.75539952) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.72799769853909 × 6371000     		do = 222.349235794598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01327852--0.01323058) × cos(0.75536462) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728021624822829 × 6371000     		du = 222.356543497514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75539952)-sin(0.75536462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72799769853909-0.728021624822829)×R²
    abs(-0.01323058--0.01327852)×2.39262837387066e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39262837387066e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39262837387066e-05×40589641000000     		ar = 49439.6980765756m²