Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65258 / 44644
↖ ↑ ↗
← N 49.660517°
W  0.763550°		 ← 197.71 m → N 49.660517°
W  0.760803°		 →
↑
197.76 m
↓
↑
197.76 m
↓
N 49.658739°
W  0.763550°		 ← 197.71 m →
39 098 m²		 N 49.658739°
W  0.760803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497882843017578 y=0.340610504150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497882843017578 × 217)
    floor (0.497882843017578 × 131072)
    floor (65258.5)     		tx = 65258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340610504150391 × 217)
    floor (0.340610504150391 × 131072)
    floor (44644.5)     		ty = 44644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65258 / 44644 ti = "17/65258/44644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65258/44644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65258 ÷ 217
    65258 ÷ 131072     		x = 0.497879028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44644 ÷ 217
    44644 ÷ 131072     		y = 0.340606689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497879028320312 × 2 - 1) × π
    -0.004241943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01332646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340606689453125 × 2 - 1) × π
    0.31878662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00149770686221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01332646} λ = -0.01332646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00149770686221))-π/2
    2×atan(2.72235606805367)-π/2
    2×1.21876792593664-π/2
    2.43753585187329-1.57079632675     		φ = 0.86673953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01332646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.763550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86673953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.660517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65258 KachelY 44644 -0.01332646 0.86673953 -0.763550 49.660517
    Oben rechts KachelX + 1 65259 KachelY 44644 -0.01327852 0.86673953 -0.760803 49.660517
    Unten links KachelX 65258 KachelY + 1 44645 -0.01332646 0.86670849 -0.763550 49.658739
    Unten rechts KachelX + 1 65259 KachelY + 1 44645 -0.01327852 0.86670849 -0.760803 49.658739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86673953-0.86670849) × R
    3.10399999999822e-05 × 6371000     		dl = 197.755839999887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86673953-0.86670849) × R
    3.10399999999822e-05 × 6371000     		dr = 197.755839999887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01332646--0.01327852) × cos(0.86673953) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.647315186929566 × 6371000     		do = 197.7067199812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01332646--0.01327852) × cos(0.86670849) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.647338846002277 × 6371000     		du = 197.71394607099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86673953)-sin(0.86670849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647315186929566-0.647338846002277)×R²
    abs(-0.01327852--0.01332646)×2.36590727105135e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36590727105135e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36590727105135e-05×40589641000000     		ar = 39098.3729875684m²