Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65256 / 48027
↖ ↑ ↗
← N 43.271206°
W  0.769043°		 ← 222.39 m → N 43.271206°
W  0.766296°		 →
↑
222.41 m
↓
↑
222.41 m
↓
N 43.269206°
W  0.769043°		 ← 222.39 m →
49 462 m²		 N 43.269206°
W  0.766296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497867584228516 y=0.366420745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497867584228516 × 217)
    floor (0.497867584228516 × 131072)
    floor (65256.5)     		tx = 65256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366420745849609 × 217)
    floor (0.366420745849609 × 131072)
    floor (48027.5)     		ty = 48027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65256 / 48027 ti = "17/65256/48027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65256/48027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65256 ÷ 217
    65256 ÷ 131072     		x = 0.49786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48027 ÷ 217
    48027 ÷ 131072     		y = 0.366416931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.0042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01342233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366416931152344 × 2 - 1) × π
    0.267166137695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.839327175447563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01342233} λ = -0.01342233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839327175447563))-π/2
    2×atan(2.31480899239051)-π/2
    2×1.16301067240502-π/2
    2.32602134481003-1.57079632675     		φ = 0.75522502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01342233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.769043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75522502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.271206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65256 KachelY 48027 -0.01342233 0.75522502 -0.769043 43.271206
    Oben rechts KachelX + 1 65257 KachelY 48027 -0.01337439 0.75522502 -0.766296 43.271206
    Unten links KachelX 65256 KachelY + 1 48028 -0.01342233 0.75519011 -0.769043 43.269206
    Unten rechts KachelX + 1 65257 KachelY + 1 48028 -0.01337439 0.75519011 -0.766296 43.269206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75522502-0.75519011) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dl = 222.411609999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75522502-0.75519011) × R
    3.49099999999991e-05 × 6371000     		dr = 222.411609999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01342233--0.01337439) × cos(0.75522502) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728117321090117 × 6371000     		do = 222.385771600766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01342233--0.01337439) × cos(0.75519011) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728141249794147 × 6371000     		du = 222.393080042901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75522502)-sin(0.75519011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728117321090117-0.728141249794147)×R²
    abs(-0.01337439--0.01342233)×2.39287040303404e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39287040303404e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39287040303404e-05×40589641000000     		ar = 49461.9902490898m²