Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65254 / 48092
↖ ↑ ↗
← N 43.141078°
W  0.774536°		 ← 222.86 m → N 43.141078°
W  0.771790°		 →
↑
222.86 m
↓
↑
222.86 m
↓
N 43.139074°
W  0.774536°		 ← 222.87 m →
49 667 m²		 N 43.139074°
W  0.771790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497852325439453 y=0.366916656494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497852325439453 × 217)
    floor (0.497852325439453 × 131072)
    floor (65254.5)     		tx = 65254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366916656494141 × 217)
    floor (0.366916656494141 × 131072)
    floor (48092.5)     		ty = 48092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65254 / 48092 ti = "17/65254/48092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65254/48092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65254 ÷ 217
    65254 ÷ 131072     		x = 0.497848510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48092 ÷ 217
    48092 ÷ 131072     		y = 0.366912841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497848510742188 × 2 - 1) × π
    -0.004302978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01351821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366912841796875 × 2 - 1) × π
    0.26617431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.836211276972259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01351821} λ = -0.01351821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.836211276972259))-π/2
    2×atan(2.30760750795418)-π/2
    2×1.16187509129662-π/2
    2.32375018259323-1.57079632675     		φ = 0.75295386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01351821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.774536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75295386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.141078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65254 KachelY 48092 -0.01351821 0.75295386 -0.774536 43.141078
    Oben rechts KachelX + 1 65255 KachelY 48092 -0.01347027 0.75295386 -0.771790 43.141078
    Unten links KachelX 65254 KachelY + 1 48093 -0.01351821 0.75291888 -0.774536 43.139074
    Unten rechts KachelX + 1 65255 KachelY + 1 48093 -0.01347027 0.75291888 -0.771790 43.139074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75295386-0.75291888) × R
    3.49800000000178e-05 × 6371000     		dl = 222.857580000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75295386-0.75291888) × R
    3.49800000000178e-05 × 6371000     		dr = 222.857580000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01351821--0.01347027) × cos(0.75295386) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.729672214238087 × 6371000     		do = 222.860675991105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01351821--0.01347027) × cos(0.75291888) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.729696133013863 × 6371000     		du = 222.867981400897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75295386)-sin(0.75291888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729672214238087-0.729696133013863)×R²
    abs(-0.01347027--0.01351821)×2.39187757763437e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39187757763437e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39187757763437e-05×40589641000000     		ar = 49667.0049665039m²