Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65253 / 48019
↖ ↑ ↗
← N 43.287203°
W  0.777283°		 ← 222.28 m → N 43.287203°
W  0.774536°		 →
↑
222.28 m
↓
↑
222.28 m
↓
N 43.285204°
W  0.777283°		 ← 222.29 m →
49 410 m²		 N 43.285204°
W  0.774536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497844696044922 y=0.366359710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497844696044922 × 217)
    floor (0.497844696044922 × 131072)
    floor (65253.5)     		tx = 65253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366359710693359 × 217)
    floor (0.366359710693359 × 131072)
    floor (48019.5)     		ty = 48019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65253 / 48019 ti = "17/65253/48019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65253/48019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65253 ÷ 217
    65253 ÷ 131072     		x = 0.497840881347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48019 ÷ 217
    48019 ÷ 131072     		y = 0.366355895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497840881347656 × 2 - 1) × π
    -0.0043182373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01356614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366355895996094 × 2 - 1) × π
    0.267288208007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.839710670644524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01356614} λ = -0.01356614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839710670644524))-π/2
    2×atan(2.31569688076055)-π/2
    2×1.1631502688027-π/2
    2.32630053760539-1.57079632675     		φ = 0.75550421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01356614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.777283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75550421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.287203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65253 KachelY 48019 -0.01356614 0.75550421 -0.777283 43.287203
    Oben rechts KachelX + 1 65254 KachelY 48019 -0.01351821 0.75550421 -0.774536 43.287203
    Unten links KachelX 65253 KachelY + 1 48020 -0.01356614 0.75546932 -0.777283 43.285204
    Unten rechts KachelX + 1 65254 KachelY + 1 48020 -0.01351821 0.75546932 -0.774536 43.285204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75550421-0.75546932) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dl = 222.284190000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75550421-0.75546932) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dr = 222.284190000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01356614--0.01351821) × cos(0.75550421) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.727925921224298 × 6371000     		do = 222.280936994679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01356614--0.01351821) × cos(0.75546932) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.727949843311517 × 6371000     		du = 222.288241891794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75550421)-sin(0.75546932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727925921224298-0.727949843311517)×R²
    abs(-0.01351821--0.01356614)×2.39220872189083e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39220872189083e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39220872189083e-05×40589641000000     		ar = 49410.3499189329m²