Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65252 / 48018
↖ ↑ ↗
← N 43.289202°
W  0.780029°		 ← 222.32 m → N 43.289202°
W  0.777283°		 →
↑
222.28 m
↓
↑
222.28 m
↓
N 43.287203°
W  0.780029°		 ← 222.33 m →
49 419 m²		 N 43.287203°
W  0.777283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497837066650391 y=0.366352081298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497837066650391 × 217)
    floor (0.497837066650391 × 131072)
    floor (65252.5)     		tx = 65252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366352081298828 × 217)
    floor (0.366352081298828 × 131072)
    floor (48018.5)     		ty = 48018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65252 / 48018 ti = "17/65252/48018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65252/48018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65252 ÷ 217
    65252 ÷ 131072     		x = 0.497833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48018 ÷ 217
    48018 ÷ 131072     		y = 0.366348266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.00433349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01361408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366348266601562 × 2 - 1) × π
    0.267303466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.839758607544144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01361408} λ = -0.01361408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839758607544144))-π/2
    2×atan(2.31580789075019)-π/2
    2×1.16316771577186-π/2
    2.32633543154372-1.57079632675     		φ = 0.75553910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01361408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.780029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75553910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.289202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65252 KachelY 48018 -0.01361408 0.75553910 -0.780029 43.289202
    Oben rechts KachelX + 1 65253 KachelY 48018 -0.01356614 0.75553910 -0.777283 43.289202
    Unten links KachelX 65252 KachelY + 1 48019 -0.01361408 0.75550421 -0.780029 43.287203
    Unten rechts KachelX + 1 65253 KachelY + 1 48019 -0.01356614 0.75550421 -0.777283 43.287203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75553910-0.75550421) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dl = 222.284190000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75553910-0.75550421) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dr = 222.284190000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01361408--0.01356614) × cos(0.75553910) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.727901998250966 × 6371000     		do = 222.320006463279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01361408--0.01356614) × cos(0.75550421) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.727925921224298 × 6371000     		du = 222.327313155112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75553910)-sin(0.75550421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727901998250966-0.727925921224298)×R²
    abs(-0.01356614--0.01361408)×2.39229733319801e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39229733319801e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39229733319801e-05×40589641000000     		ar = 49419.0346435066m²