Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65251 / 48052
↖ ↑ ↗
← N 43.221190°
W  0.782776°		 ← 222.57 m → N 43.221190°
W  0.780029°		 →
↑
222.60 m
↓
↑
222.60 m
↓
N 43.219188°
W  0.782776°		 ← 222.58 m →
49 545 m²		 N 43.219188°
W  0.780029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497829437255859 y=0.366611480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497829437255859 × 217)
    floor (0.497829437255859 × 131072)
    floor (65251.5)     		tx = 65251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366611480712891 × 217)
    floor (0.366611480712891 × 131072)
    floor (48052.5)     		ty = 48052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65251 / 48052 ti = "17/65251/48052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65251/48052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65251 ÷ 217
    65251 ÷ 131072     		x = 0.497825622558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48052 ÷ 217
    48052 ÷ 131072     		y = 0.366607666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497825622558594 × 2 - 1) × π
    -0.0043487548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01366202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366607666015625 × 2 - 1) × π
    0.26678466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.838128752957062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01366202} λ = -0.01366202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838128752957062))-π/2
    2×atan(2.31203653485237)-π/2
    2×1.16257419712362-π/2
    2.32514839424724-1.57079632675     		φ = 0.75435207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01366202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.782776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75435207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.221190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65251 KachelY 48052 -0.01366202 0.75435207 -0.782776 43.221190
    Oben rechts KachelX + 1 65252 KachelY 48052 -0.01361408 0.75435207 -0.780029 43.221190
    Unten links KachelX 65251 KachelY + 1 48053 -0.01366202 0.75431713 -0.782776 43.219188
    Unten rechts KachelX + 1 65252 KachelY + 1 48053 -0.01361408 0.75431713 -0.780029 43.219188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75435207-0.75431713) × R
    3.49400000000388e-05 × 6371000     		dl = 222.602740000247m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75435207-0.75431713) × R
    3.49400000000388e-05 × 6371000     		dr = 222.602740000247m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01366202--0.01361408) × cos(0.75435207) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728715409369674 × 6371000     		do = 222.568443156135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01366202--0.01361408) × cos(0.75431713) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728739336418816 × 6371000     		du = 222.575751092825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75435207)-sin(0.75431713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728715409369674-0.728739336418816)×R²
    abs(-0.01361408--0.01366202)×2.39270491417809e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39270491417809e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39270491417809e-05×40589641000000     		ar = 49545.1586725361m²