Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65250 / 48050
↖ ↑ ↗
← N 43.225193°
W  0.785522°		 ← 222.51 m → N 43.225193°
W  0.782776°		 →
↑
222.54 m
↓
↑
222.54 m
↓
N 43.223191°
W  0.785522°		 ← 222.51 m →
49 517 m²		 N 43.223191°
W  0.782776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497821807861328 y=0.366596221923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497821807861328 × 217)
    floor (0.497821807861328 × 131072)
    floor (65250.5)     		tx = 65250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366596221923828 × 217)
    floor (0.366596221923828 × 131072)
    floor (48050.5)     		ty = 48050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65250 / 48050 ti = "17/65250/48050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65250/48050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65250 ÷ 217
    65250 ÷ 131072     		x = 0.497817993164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48050 ÷ 217
    48050 ÷ 131072     		y = 0.366592407226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497817993164062 × 2 - 1) × π
    -0.004364013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01370995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366592407226562 × 2 - 1) × π
    0.266815185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.838224626756302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01370995} λ = -0.01370995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838224626756302))-π/2
    2×atan(2.31225820920516)-π/2
    2×1.16260912833437-π/2
    2.32521825666874-1.57079632675     		φ = 0.75442193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01370995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.785522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75442193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.225193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65250 KachelY 48050 -0.01370995 0.75442193 -0.785522 43.225193
    Oben rechts KachelX + 1 65251 KachelY 48050 -0.01366202 0.75442193 -0.782776 43.225193
    Unten links KachelX 65250 KachelY + 1 48051 -0.01370995 0.75438700 -0.785522 43.223191
    Unten rechts KachelX + 1 65251 KachelY + 1 48051 -0.01366202 0.75438700 -0.782776 43.223191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75442193-0.75438700) × R
    3.49299999999886e-05 × 6371000     		dl = 222.539029999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75442193-0.75438700) × R
    3.49299999999886e-05 × 6371000     		dr = 222.539029999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01370995--0.01366202) × cos(0.75442193) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.728667566299916 × 6371000     		do = 222.507407240501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01370995--0.01366202) × cos(0.75438700) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.728691488279335 × 6371000     		du = 222.514712104698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75442193)-sin(0.75438700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728667566299916-0.728691488279335)×R²
    abs(-0.01366202--0.01370995)×2.39219794190282e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39219794190282e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39219794190282e-05×40589641000000     		ar = 49517.395388883m²