Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65249 / 44635
↖ ↑ ↗
← N 49.676515°
W  0.788269°		 ← 197.64 m → N 49.676515°
W  0.785522°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
N 49.674738°
W  0.788269°		 ← 197.65 m →
39 060 m²		 N 49.674738°
W  0.785522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497814178466797 y=0.340541839599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497814178466797 × 217)
    floor (0.497814178466797 × 131072)
    floor (65249.5)     		tx = 65249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340541839599609 × 217)
    floor (0.340541839599609 × 131072)
    floor (44635.5)     		ty = 44635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65249 / 44635 ti = "17/65249/44635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65249/44635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65249 ÷ 217
    65249 ÷ 131072     		x = 0.497810363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44635 ÷ 217
    44635 ÷ 131072     		y = 0.340538024902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497810363769531 × 2 - 1) × π
    -0.0043792724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01375789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340538024902344 × 2 - 1) × π
    0.318923950195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.00192913895879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01375789} λ = -0.01375789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00192913895879))-π/2
    2×atan(2.72353083323723)-π/2
    2×1.21890753925278-π/2
    2.43781507850555-1.57079632675     		φ = 0.86701875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01375789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.788269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86701875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.676515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65249 KachelY 44635 -0.01375789 0.86701875 -0.788269 49.676515
    Oben rechts KachelX + 1 65250 KachelY 44635 -0.01370995 0.86701875 -0.785522 49.676515
    Unten links KachelX 65249 KachelY + 1 44636 -0.01375789 0.86698773 -0.788269 49.674738
    Unten rechts KachelX + 1 65250 KachelY + 1 44636 -0.01370995 0.86698773 -0.785522 49.674738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86701875-0.86698773) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86701875-0.86698773) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01375789--0.01370995) × cos(0.86701875) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.647102333948922 × 6371000     		do = 197.641709202076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01375789--0.01370995) × cos(0.86698773) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.647125983383425 × 6371000     		du = 197.648932348109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86701875)-sin(0.86698773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647102333948922-0.647125983383425)×R²
    abs(-0.01370995--0.01375789)×2.36494345027261e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36494345027261e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36494345027261e-05×40589641000000     		ar = 39060.3324681705m²