Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65248 / 45535
↖ ↑ ↗
← N 48.050546°
W  0.791016°		 ← 204.17 m → N 48.050546°
W  0.788269°		 →
↑
204.19 m
↓
↑
204.19 m
↓
N 48.048710°
W  0.791016°		 ← 204.18 m →
41 690 m²		 N 48.048710°
W  0.788269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497806549072266 y=0.347408294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497806549072266 × 217)
    floor (0.497806549072266 × 131072)
    floor (65248.5)     		tx = 65248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347408294677734 × 217)
    floor (0.347408294677734 × 131072)
    floor (45535.5)     		ty = 45535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65248 / 45535 ti = "17/65248/45535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65248/45535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65248 ÷ 217
    65248 ÷ 131072     		x = 0.497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45535 ÷ 217
    45535 ÷ 131072     		y = 0.347404479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.00439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01380583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347404479980469 × 2 - 1) × π
    0.305191040039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.958785929300743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01380583} λ = -0.01380583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958785929300743))-π/2
    2×atan(2.60852761325875)-π/2
    2×1.20471828089691-π/2
    2.40943656179382-1.57079632675     		φ = 0.83864024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01380583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83864024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.050546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65248 KachelY 45535 -0.01380583 0.83864024 -0.791016 48.050546
    Oben rechts KachelX + 1 65249 KachelY 45535 -0.01375789 0.83864024 -0.788269 48.050546
    Unten links KachelX 65248 KachelY + 1 45536 -0.01380583 0.83860819 -0.791016 48.048710
    Unten rechts KachelX + 1 65249 KachelY + 1 45536 -0.01375789 0.83860819 -0.788269 48.048710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83864024-0.83860819) × R
    3.20500000000612e-05 × 6371000     		dl = 204.19055000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83864024-0.83860819) × R
    3.20500000000612e-05 × 6371000     		dr = 204.19055000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01380583--0.01375789) × cos(0.83864024) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.668474744406413 × 6371000     		do = 204.169393481639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01380583--0.01375789) × cos(0.83860819) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.668498580764785 × 6371000     		du = 204.176673719033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83864024)-sin(0.83860819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668474744406413-0.668498580764785)×R²
    abs(-0.01375789--0.01380583)×2.3836358371665e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.3836358371665e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.3836358371665e-05×40589641000000     		ar = 41690.2040297149m²