Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65248 / 44637
↖ ↑ ↗
← N 49.672961°
W  0.791016°		 ← 197.66 m → N 49.672961°
W  0.788269°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
N 49.671183°
W  0.791016°		 ← 197.66 m →
39 063 m²		 N 49.671183°
W  0.788269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497806549072266 y=0.340557098388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497806549072266 × 217)
    floor (0.497806549072266 × 131072)
    floor (65248.5)     		tx = 65248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340557098388672 × 217)
    floor (0.340557098388672 × 131072)
    floor (44637.5)     		ty = 44637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65248 / 44637 ti = "17/65248/44637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65248/44637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65248 ÷ 217
    65248 ÷ 131072     		x = 0.497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44637 ÷ 217
    44637 ÷ 131072     		y = 0.340553283691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.00439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01380583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340553283691406 × 2 - 1) × π
    0.318893432617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.00183326515955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01380583} λ = -0.01380583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00183326515955))-π/2
    2×atan(2.72326973050556)-π/2
    2×1.21887651803951-π/2
    2.43775303607901-1.57079632675     		φ = 0.86695671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01380583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86695671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.672961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65248 KachelY 44637 -0.01380583 0.86695671 -0.791016 49.672961
    Oben rechts KachelX + 1 65249 KachelY 44637 -0.01375789 0.86695671 -0.788269 49.672961
    Unten links KachelX 65248 KachelY + 1 44638 -0.01380583 0.86692569 -0.791016 49.671183
    Unten rechts KachelX + 1 65249 KachelY + 1 44638 -0.01375789 0.86692569 -0.788269 49.671183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86695671-0.86692569) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86695671-0.86692569) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01380583--0.01375789) × cos(0.86695671) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.647149632195237 × 6371000     		do = 197.656155303957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01380583--0.01375789) × cos(0.86692569) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.647173280384336 × 6371000     		du = 197.663378069612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86695671)-sin(0.86692569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647149632195237-0.647173280384336)×R²
    abs(-0.01375789--0.01380583)×2.36481890985019e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.36481890985019e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.36481890985019e-05×40589641000000     		ar = 39063.1873908505m²