Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65247 / 48013
↖ ↑ ↗
← N 43.299198°
W  0.793762°		 ← 222.24 m → N 43.299198°
W  0.791016°		 →
↑
222.28 m
↓
↑
222.28 m
↓
N 43.297198°
W  0.793762°		 ← 222.24 m →
49 401 m²		 N 43.297198°
W  0.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497798919677734 y=0.366313934326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497798919677734 × 217)
    floor (0.497798919677734 × 131072)
    floor (65247.5)     		tx = 65247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366313934326172 × 217)
    floor (0.366313934326172 × 131072)
    floor (48013.5)     		ty = 48013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65247 / 48013 ti = "17/65247/48013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65247/48013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65247 ÷ 217
    65247 ÷ 131072     		x = 0.497795104980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48013 ÷ 217
    48013 ÷ 131072     		y = 0.366310119628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497795104980469 × 2 - 1) × π
    -0.0044097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01385376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366310119628906 × 2 - 1) × π
    0.267379760742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.839998292042244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01385376} λ = -0.01385376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.839998292042244))-π/2
    2×atan(2.31636302052753)-π/2
    2×1.1632549420157-π/2
    2.32650988403139-1.57079632675     		φ = 0.75571356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01385376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.793762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75571356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.299198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65247 KachelY 48013 -0.01385376 0.75571356 -0.793762 43.299198
    Oben rechts KachelX + 1 65248 KachelY 48013 -0.01380583 0.75571356 -0.791016 43.299198
    Unten links KachelX 65247 KachelY + 1 48014 -0.01385376 0.75567867 -0.793762 43.297198
    Unten rechts KachelX + 1 65248 KachelY + 1 48014 -0.01380583 0.75567867 -0.791016 43.297198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75571356-0.75567867) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dl = 222.284190000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75571356-0.75567867) × R
    3.48900000000096e-05 × 6371000     		dr = 222.284190000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01385376--0.01380583) × cos(0.75571356) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.727782363235548 × 6371000     		do = 222.237099835804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01385376--0.01380583) × cos(0.75567867) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.727806290639262 × 6371000     		du = 222.244406356374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75571356)-sin(0.75567867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727782363235548-0.727806290639262)×R²
    abs(-0.01380583--0.01385376)×2.39274037142634e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39274037142634e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39274037142634e-05×40589641000000     		ar = 49400.6057919814m²