Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65245 / 47991
↖ ↑ ↗
← N 43.343158°
W  0.799255°		 ← 222.12 m → N 43.343158°
W  0.796509°		 →
↑
222.16 m
↓
↑
222.16 m
↓
N 43.341160°
W  0.799255°		 ← 222.13 m →
49 347 m²		 N 43.341160°
W  0.796509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497783660888672 y=0.366146087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497783660888672 × 217)
    floor (0.497783660888672 × 131072)
    floor (65245.5)     		tx = 65245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366146087646484 × 217)
    floor (0.366146087646484 × 131072)
    floor (47991.5)     		ty = 47991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65245 / 47991 ti = "17/65245/47991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65245/47991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65245 ÷ 217
    65245 ÷ 131072     		x = 0.497779846191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47991 ÷ 217
    47991 ÷ 131072     		y = 0.366142272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497779846191406 × 2 - 1) × π
    -0.0044403076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01394964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366142272949219 × 2 - 1) × π
    0.267715454101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.841052903833885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01394964} λ = -0.01394964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.841052903833885))-π/2
    2×atan(2.3188071728721)-π/2
    2×1.1636385671627-π/2
    2.3272771343254-1.57079632675     		φ = 0.75648081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01394964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.799255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75648081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.343158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65245 KachelY 47991 -0.01394964 0.75648081 -0.799255 43.343158
    Oben rechts KachelX + 1 65246 KachelY 47991 -0.01390170 0.75648081 -0.796509 43.343158
    Unten links KachelX 65245 KachelY + 1 47992 -0.01394964 0.75644594 -0.799255 43.341160
    Unten rechts KachelX + 1 65246 KachelY + 1 47992 -0.01390170 0.75644594 -0.796509 43.341160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75648081-0.75644594) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dl = 222.156770000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75648081-0.75644594) × R
    3.48700000000202e-05 × 6371000     		dr = 222.156770000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01394964--0.01390170) × cos(0.75648081) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.727255962763983 × 6371000     		do = 222.122690596601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01394964--0.01390170) × cos(0.75644594) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.727279895916415 × 6371000     		du = 222.130000397393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75648081)-sin(0.75644594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727255962763983-0.727279895916415)×R²
    abs(-0.01390170--0.01394964)×2.39331524328756e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39331524328756e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39331524328756e-05×40589641000000     		ar = 49346.8714525715m²