Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65242 / 48057
↖ ↑ ↗
← N 43.211181°
W  0.807495°		 ← 222.60 m → N 43.211181°
W  0.804748°		 →
↑
222.60 m
↓
↑
222.60 m
↓
N 43.209180°
W  0.807495°		 ← 222.61 m →
49 553 m²		 N 43.209180°
W  0.804748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497760772705078 y=0.366649627685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497760772705078 × 217)
    floor (0.497760772705078 × 131072)
    floor (65242.5)     		tx = 65242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366649627685547 × 217)
    floor (0.366649627685547 × 131072)
    floor (48057.5)     		ty = 48057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65242 / 48057 ti = "17/65242/48057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65242/48057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65242 ÷ 217
    65242 ÷ 131072     		x = 0.497756958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48057 ÷ 217
    48057 ÷ 131072     		y = 0.366645812988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497756958007812 × 2 - 1) × π
    -0.004486083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01409345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366645812988281 × 2 - 1) × π
    0.266708374023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.837889068458961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01409345} λ = -0.01409345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.837889068458961))-π/2
    2×atan(2.31148244194232)-π/2
    2×1.16248685906264-π/2
    2.32497371812529-1.57079632675     		φ = 0.75417739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01409345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.807495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75417739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.211181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65242 KachelY 48057 -0.01409345 0.75417739 -0.807495 43.211181
    Oben rechts KachelX + 1 65243 KachelY 48057 -0.01404551 0.75417739 -0.804748 43.211181
    Unten links KachelX 65242 KachelY + 1 48058 -0.01409345 0.75414245 -0.807495 43.209180
    Unten rechts KachelX + 1 65243 KachelY + 1 48058 -0.01404551 0.75414245 -0.804748 43.209180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75417739-0.75414245) × R
    3.49399999999278e-05 × 6371000     		dl = 222.60273999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75417739-0.75414245) × R
    3.49399999999278e-05 × 6371000     		dr = 222.60273999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01409345--0.01404551) × cos(0.75417739) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728835022024828 × 6371000     		do = 222.604975939848m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01409345--0.01404551) × cos(0.75414245) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.728858944625949 × 6371000     		du = 222.612282517998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75417739)-sin(0.75414245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728835022024828-0.728858944625949)×R²
    abs(-0.01404551--0.01409345)×2.39226011209404e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39226011209404e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39226011209404e-05×40589641000000     		ar = 49553.2908188197m²