Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65240 / 48008
↖ ↑ ↗
← N 43.309191°
W  0.812988°		 ← 222.20 m → N 43.309191°
W  0.810242°		 →
↑
222.22 m
↓
↑
222.22 m
↓
N 43.307193°
W  0.812988°		 ← 222.21 m →
49 378 m²		 N 43.307193°
W  0.810242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497745513916016 y=0.366275787353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497745513916016 × 217)
    floor (0.497745513916016 × 131072)
    floor (65240.5)     		tx = 65240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366275787353516 × 217)
    floor (0.366275787353516 × 131072)
    floor (48008.5)     		ty = 48008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65240 / 48008 ti = "17/65240/48008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65240/48008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65240 ÷ 217
    65240 ÷ 131072     		x = 0.49774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48008 ÷ 217
    48008 ÷ 131072     		y = 0.36627197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.0045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01418932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36627197265625 × 2 - 1) × π
    0.2674560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.840237976540344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01418932} λ = -0.01418932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.840237976540344))-π/2
    2×atan(2.31691828337681)-π/2
    2×1.16334215392267-π/2
    2.32668430784535-1.57079632675     		φ = 0.75588798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01418932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.812988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75588798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.309191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65240 KachelY 48008 -0.01418932 0.75588798 -0.812988 43.309191
    Oben rechts KachelX + 1 65241 KachelY 48008 -0.01414139 0.75588798 -0.810242 43.309191
    Unten links KachelX 65240 KachelY + 1 48009 -0.01418932 0.75585310 -0.812988 43.307193
    Unten rechts KachelX + 1 65241 KachelY + 1 48009 -0.01414139 0.75585310 -0.810242 43.307193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75588798-0.75585310) × R
    3.48799999999594e-05 × 6371000     		dl = 222.220479999741m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75588798-0.75585310) × R
    3.48799999999594e-05 × 6371000     		dr = 222.220479999741m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01418932--0.01414139) × cos(0.75588798) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.727662733506539 × 6371000     		do = 222.200569458905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01418932--0.01414139) × cos(0.75585310) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.727686658479794 × 6371000     		du = 222.207875237306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75588798)-sin(0.75585310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727662733506539-0.727686658479794)×R²
    abs(-0.01414139--0.01418932)×2.39249732555402e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39249732555402e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39249732555402e-05×40589641000000     		ar = 49378.3289531926m²