Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65240 / 45736
↖ ↑ ↗
← N 47.680183°
W  0.812988°		 ← 205.59 m → N 47.680183°
W  0.810242°		 →
↑
205.59 m
↓
↑
205.59 m
↓
N 47.678334°
W  0.812988°		 ← 205.60 m →
42 269 m²		 N 47.678334°
W  0.810242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497745513916016 y=0.348941802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497745513916016 × 217)
    floor (0.497745513916016 × 131072)
    floor (65240.5)     		tx = 65240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348941802978516 × 217)
    floor (0.348941802978516 × 131072)
    floor (45736.5)     		ty = 45736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65240 / 45736 ti = "17/65240/45736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65240/45736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65240 ÷ 217
    65240 ÷ 131072     		x = 0.49774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45736 ÷ 217
    45736 ÷ 131072     		y = 0.34893798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.0045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01418932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34893798828125 × 2 - 1) × π
    0.3021240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.949150612477112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01418932} λ = -0.01418932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.949150612477112))-π/2
    2×atan(2.58351432227135)-π/2
    2×1.20148625357302-π/2
    2.40297250714603-1.57079632675     		φ = 0.83217618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01418932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.812988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83217618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.680183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65240 KachelY 45736 -0.01418932 0.83217618 -0.812988 47.680183
    Oben rechts KachelX + 1 65241 KachelY 45736 -0.01414139 0.83217618 -0.810242 47.680183
    Unten links KachelX 65240 KachelY + 1 45737 -0.01418932 0.83214391 -0.812988 47.678334
    Unten rechts KachelX + 1 65241 KachelY + 1 45737 -0.01414139 0.83214391 -0.810242 47.678334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83217618-0.83214391) × R
    3.22700000000564e-05 × 6371000     		dl = 205.592170000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83217618-0.83214391) × R
    3.22700000000564e-05 × 6371000     		dr = 205.592170000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01418932--0.01414139) × cos(0.83217618) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.673268291823609 × 6371000     		do = 205.590572325889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01418932--0.01414139) × cos(0.83214391) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.673292151855344 × 6371000     		du = 205.597858273615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83217618)-sin(0.83214391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673268291823609-0.673292151855344)×R²
    abs(-0.01414139--0.01418932)×2.38600317348237e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.38600317348237e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.38600317348237e-05×40589641000000     		ar = 42268.560866672m²