Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65238 / 48126
↖ ↑ ↗
← N 43.072900°
W  0.818482°		 ← 223.11 m → N 43.072900°
W  0.815735°		 →
↑
223.05 m
↓
↑
223.05 m
↓
N 43.070894°
W  0.818482°		 ← 223.12 m →
49 765 m²		 N 43.070894°
W  0.815735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497730255126953 y=0.367176055908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497730255126953 × 217)
    floor (0.497730255126953 × 131072)
    floor (65238.5)     		tx = 65238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367176055908203 × 217)
    floor (0.367176055908203 × 131072)
    floor (48126.5)     		ty = 48126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65238 / 48126 ti = "17/65238/48126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65238/48126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65238 ÷ 217
    65238 ÷ 131072     		x = 0.497726440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48126 ÷ 217
    48126 ÷ 131072     		y = 0.367172241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497726440429688 × 2 - 1) × π
    -0.004547119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01428520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367172241210938 × 2 - 1) × π
    0.265655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.834581422385178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01428520} λ = -0.01428520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.834581422385178))-π/2
    2×atan(2.30384950660193)-π/2
    2×1.16128013015435-π/2
    2.32256026030871-1.57079632675     		φ = 0.75176393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01428520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.818482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75176393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.072900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65238 KachelY 48126 -0.01428520 0.75176393 -0.818482 43.072900
    Oben rechts KachelX + 1 65239 KachelY 48126 -0.01423726 0.75176393 -0.815735 43.072900
    Unten links KachelX 65238 KachelY + 1 48127 -0.01428520 0.75172892 -0.818482 43.070894
    Unten rechts KachelX + 1 65239 KachelY + 1 48127 -0.01423726 0.75172892 -0.815735 43.070894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75176393-0.75172892) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dl = 223.048709999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75176393-0.75172892) × R
    3.50099999999465e-05 × 6371000     		dr = 223.048709999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01428520--0.01423726) × cos(0.75176393) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.730485368133347 × 6371000     		do = 223.109034121299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01428520--0.01423726) × cos(0.75172892) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.730509277007088 × 6371000     		du = 223.116336506754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75176393)-sin(0.75172892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730485368133347-0.730509277007088)×R²
    abs(-0.01423726--0.01428520)×2.39088737405968e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39088737405968e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39088737405968e-05×40589641000000     		ar = 49764.9966489068m²