Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65236 / 48069
↖ ↑ ↗
← N 43.187155°
W  0.823975°		 ← 222.69 m → N 43.187155°
W  0.821228°		 →
↑
222.67 m
↓
↑
222.67 m
↓
N 43.185153°
W  0.823975°		 ← 222.70 m →
49 587 m²		 N 43.185153°
W  0.821228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497714996337891 y=0.366741180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497714996337891 × 217)
    floor (0.497714996337891 × 131072)
    floor (65236.5)     		tx = 65236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366741180419922 × 217)
    floor (0.366741180419922 × 131072)
    floor (48069.5)     		ty = 48069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65236 / 48069 ti = "17/65236/48069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65236/48069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65236 ÷ 217
    65236 ÷ 131072     		x = 0.497711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48069 ÷ 217
    48069 ÷ 131072     		y = 0.366737365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.00457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01438107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.366737365722656 × 2 - 1) × π
    0.266525268554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.837313825663521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01438107} λ = -0.01438107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.837313825663521))-π/2
    2×atan(2.31015316068719)-π/2
    2×1.16227718923346-π/2
    2.32455437846693-1.57079632675     		φ = 0.75375805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01438107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.823975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75375805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.187155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65236 KachelY 48069 -0.01438107 0.75375805 -0.823975 43.187155
    Oben rechts KachelX + 1 65237 KachelY 48069 -0.01433313 0.75375805 -0.821228 43.187155
    Unten links KachelX 65236 KachelY + 1 48070 -0.01438107 0.75372310 -0.823975 43.185153
    Unten rechts KachelX + 1 65237 KachelY + 1 48070 -0.01433313 0.75372310 -0.821228 43.185153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75375805-0.75372310) × R
    3.49499999999781e-05 × 6371000     		dl = 222.66644999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75375805-0.75372310) × R
    3.49499999999781e-05 × 6371000     		dr = 222.66644999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01438107--0.01433313) × cos(0.75375805) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.729122075568498 × 6371000     		do = 222.692649480843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01438107--0.01433313) × cos(0.75372310) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.729145994332221 × 6371000     		du = 222.699954886953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75375805)-sin(0.75372310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.729122075568498-0.729145994332221)×R²
    abs(-0.01433313--0.01438107)×2.39187637236515e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39187637236515e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39187637236515e-05×40589641000000     		ar = 49586.9950404754m²