Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65234 / 45650
↖ ↑ ↗
← N 47.838971°
W  0.829468°		 ← 204.96 m → N 47.838971°
W  0.826721°		 →
↑
205.02 m
↓
↑
205.02 m
↓
N 47.837127°
W  0.829468°		 ← 204.97 m →
42 022 m²		 N 47.837127°
W  0.826721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497699737548828 y=0.348285675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497699737548828 × 217)
    floor (0.497699737548828 × 131072)
    floor (65234.5)     		tx = 65234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348285675048828 × 217)
    floor (0.348285675048828 × 131072)
    floor (45650.5)     		ty = 45650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65234 / 45650 ti = "17/65234/45650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65234/45650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65234 ÷ 217
    65234 ÷ 131072     		x = 0.497695922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45650 ÷ 217
    45650 ÷ 131072     		y = 0.348281860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497695922851562 × 2 - 1) × π
    -0.004608154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01447694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348281860351562 × 2 - 1) × π
    0.303436279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.953273185844437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01447694} λ = -0.01447694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953273185844437))-π/2
    2×atan(2.59418703401327)-π/2
    2×1.20287193774853-π/2
    2.40574387549706-1.57079632675     		φ = 0.83494755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01447694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.829468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83494755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.838971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65234 KachelY 45650 -0.01447694 0.83494755 -0.829468 47.838971
    Oben rechts KachelX + 1 65235 KachelY 45650 -0.01442901 0.83494755 -0.826721 47.838971
    Unten links KachelX 65234 KachelY + 1 45651 -0.01447694 0.83491537 -0.829468 47.837127
    Unten rechts KachelX + 1 65235 KachelY + 1 45651 -0.01442901 0.83491537 -0.826721 47.837127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83494755-0.83491537) × R
    3.21799999999373e-05 × 6371000     		dl = 205.0187799996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83494755-0.83491537) × R
    3.21799999999373e-05 × 6371000     		dr = 205.0187799996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01447694--0.01442901) × cos(0.83494755) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.671216562738659 × 6371000     		do = 204.964052167499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01447694--0.01442901) × cos(0.83491537) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.671240416179988 × 6371000     		du = 204.971336102765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83494755)-sin(0.83491537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671216562738659-0.671240416179988)×R²
    abs(-0.01442901--0.01447694)×2.3853441329269e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.3853441329269e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.3853441329269e-05×40589641000000     		ar = 42022.2265945381m²