Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65233 / 45649
↖ ↑ ↗
← N 47.840814°
W  0.832214°		 ← 205 m → N 47.840814°
W  0.829468°		 →
↑
204.96 m
↓
↑
204.96 m
↓
N 47.838971°
W  0.832214°		 ← 205.01 m →
42 016 m²		 N 47.838971°
W  0.829468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497692108154297 y=0.348278045654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497692108154297 × 217)
    floor (0.497692108154297 × 131072)
    floor (65233.5)     		tx = 65233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348278045654297 × 217)
    floor (0.348278045654297 × 131072)
    floor (45649.5)     		ty = 45649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65233 / 45649 ti = "17/65233/45649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65233/45649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65233 ÷ 217
    65233 ÷ 131072     		x = 0.497688293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45649 ÷ 217
    45649 ÷ 131072     		y = 0.348274230957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497688293457031 × 2 - 1) × π
    -0.0046234130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01452488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348274230957031 × 2 - 1) × π
    0.303451538085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.953321122744057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01452488} λ = -0.01452488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953321122744057))-π/2
    2×atan(2.59431139427741)-π/2
    2×1.20288802548322-π/2
    2.40577605096643-1.57079632675     		φ = 0.83497972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01452488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.832214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83497972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.840814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65233 KachelY 45649 -0.01452488 0.83497972 -0.832214 47.840814
    Oben rechts KachelX + 1 65234 KachelY 45649 -0.01447694 0.83497972 -0.829468 47.840814
    Unten links KachelX 65233 KachelY + 1 45650 -0.01452488 0.83494755 -0.832214 47.838971
    Unten rechts KachelX + 1 65234 KachelY + 1 45650 -0.01447694 0.83494755 -0.829468 47.838971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83497972-0.83494755) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dl = 204.955069999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83497972-0.83494755) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dr = 204.955069999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01452488--0.01447694) × cos(0.83497972) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.671192716015079 × 6371000     		do = 204.999531971514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01452488--0.01447694) × cos(0.83494755) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.671216562738659 × 6371000     		du = 205.00681537471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83497972)-sin(0.83494755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671192716015079-0.671216562738659)×R²
    abs(-0.01447694--0.01452488)×2.38467235801343e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38467235801343e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38467235801343e-05×40589641000000     		ar = 42016.4398140553m²