Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65232 / 45647
↖ ↑ ↗
← N 47.844501°
W  0.834961°		 ← 204.98 m → N 47.844501°
W  0.832214°		 →
↑
204.96 m
↓
↑
204.96 m
↓
N 47.842658°
W  0.834961°		 ← 204.99 m →
42 013 m²		 N 47.842658°
W  0.832214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497684478759766 y=0.348262786865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497684478759766 × 217)
    floor (0.497684478759766 × 131072)
    floor (65232.5)     		tx = 65232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348262786865234 × 217)
    floor (0.348262786865234 × 131072)
    floor (45647.5)     		ty = 45647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65232 / 45647 ti = "17/65232/45647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65232/45647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65232 ÷ 217
    65232 ÷ 131072     		x = 0.4976806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45647 ÷ 217
    45647 ÷ 131072     		y = 0.348258972167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4976806640625 × 2 - 1) × π
    -0.004638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01457282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348258972167969 × 2 - 1) × π
    0.303482055664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.953416996543297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01457282} λ = -0.01457282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953416996543297))-π/2
    2×atan(2.59456013269075)-π/2
    2×1.2029201992376-π/2
    2.4058403984752-1.57079632675     		φ = 0.83504407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01457282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.834961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83504407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.844501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65232 KachelY 45647 -0.01457282 0.83504407 -0.834961 47.844501
    Oben rechts KachelX + 1 65233 KachelY 45647 -0.01452488 0.83504407 -0.832214 47.844501
    Unten links KachelX 65232 KachelY + 1 45648 -0.01457282 0.83501190 -0.834961 47.842658
    Unten rechts KachelX + 1 65233 KachelY + 1 45648 -0.01452488 0.83501190 -0.832214 47.842658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83504407-0.83501190) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dl = 204.955069999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83504407-0.83501190) × R
    3.2169999999998e-05 × 6371000     		dr = 204.955069999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01457282--0.01452488) × cos(0.83504407) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.671145013070812 × 6371000     		do = 204.984962264462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01457282--0.01452488) × cos(0.83501190) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.67116886118383 × 6371000     		du = 204.992246092028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83504407)-sin(0.83501190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671145013070812-0.67116886118383)×R²
    abs(-0.01452488--0.01457282)×2.38481130181434e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38481130181434e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38481130181434e-05×40589641000000     		ar = 42013.453722032m²