Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65229 / 45629
↖ ↑ ↗
← N 47.877671°
W  0.843201°		 ← 204.85 m → N 47.877671°
W  0.840454°		 →
↑
204.83 m
↓
↑
204.83 m
↓
N 47.875829°
W  0.843201°		 ← 204.86 m →
41 960 m²		 N 47.875829°
W  0.840454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497661590576172 y=0.348125457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497661590576172 × 217)
    floor (0.497661590576172 × 131072)
    floor (65229.5)     		tx = 65229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348125457763672 × 217)
    floor (0.348125457763672 × 131072)
    floor (45629.5)     		ty = 45629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65229 / 45629 ti = "17/65229/45629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65229/45629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65229 ÷ 217
    65229 ÷ 131072     		x = 0.497657775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45629 ÷ 217
    45629 ÷ 131072     		y = 0.348121643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497657775878906 × 2 - 1) × π
    -0.0046844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01471663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348121643066406 × 2 - 1) × π
    0.303756713867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.954279860736458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01471663} λ = -0.01471663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954279860736458))-π/2
    2×atan(2.59679985187404)-π/2
    2×1.20320966013229-π/2
    2.40641932026459-1.57079632675     		φ = 0.83562299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01471663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.843201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83562299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.877671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65229 KachelY 45629 -0.01471663 0.83562299 -0.843201 47.877671
    Oben rechts KachelX + 1 65230 KachelY 45629 -0.01466869 0.83562299 -0.840454 47.877671
    Unten links KachelX 65229 KachelY + 1 45630 -0.01471663 0.83559084 -0.843201 47.875829
    Unten rechts KachelX + 1 65230 KachelY + 1 45630 -0.01466869 0.83559084 -0.840454 47.875829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83562299-0.83559084) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dl = 204.827650000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83562299-0.83559084) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dr = 204.827650000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01471663--0.01466869) × cos(0.83562299) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.670715732128299 × 6371000     		do = 204.853848814927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01471663--0.01466869) × cos(0.83559084) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.670739577902992 × 6371000     		du = 204.861131928308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83562299)-sin(0.83559084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670715732128299-0.670739577902992)×R²
    abs(-0.01466869--0.01471663)×2.38457746927212e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38457746927212e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38457746927212e-05×40589641000000     		ar = 41960.478341243m²