Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65226 / 48202
↖ ↑ ↗
← N 42.920229°
W  0.851440°		 ← 223.66 m → N 42.920229°
W  0.848694°		 →
↑
223.69 m
↓
↑
223.69 m
↓
N 42.918218°
W  0.851440°		 ← 223.67 m →
50 031 m²		 N 42.918218°
W  0.848694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497638702392578 y=0.367755889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497638702392578 × 217)
    floor (0.497638702392578 × 131072)
    floor (65226.5)     		tx = 65226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367755889892578 × 217)
    floor (0.367755889892578 × 131072)
    floor (48202.5)     		ty = 48202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65226 / 48202 ti = "17/65226/48202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65226/48202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65226 ÷ 217
    65226 ÷ 131072     		x = 0.497634887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48202 ÷ 217
    48202 ÷ 131072     		y = 0.367752075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497634887695312 × 2 - 1) × π
    -0.004730224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01486044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.367752075195312 × 2 - 1) × π
    0.264495849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.830938218014053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01486044} λ = -0.01486044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.830938218014053))-π/2
    2×atan(2.2954713828844)-π/2
    2×1.15994782125263-π/2
    2.31989564250525-1.57079632675     		φ = 0.74909932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01486044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.851440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74909932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.920229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65226 KachelY 48202 -0.01486044 0.74909932 -0.851440 42.920229
    Oben rechts KachelX + 1 65227 KachelY 48202 -0.01481250 0.74909932 -0.848694 42.920229
    Unten links KachelX 65226 KachelY + 1 48203 -0.01486044 0.74906421 -0.851440 42.918218
    Unten rechts KachelX + 1 65227 KachelY + 1 48203 -0.01481250 0.74906421 -0.848694 42.918218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74909932-0.74906421) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dl = 223.685810000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74909932-0.74906421) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dr = 223.685810000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01486044--0.01481250) × cos(0.74909932) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.732302510407257 × 6371000     		do = 223.664036145001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01486044--0.01481250) × cos(0.74906421) × R
    4.79400000000015e-05 × 0.732326419144948 × 6371000     		du = 223.671338488903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74909932)-sin(0.74906421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732302510407257-0.732326419144948)×R²
    abs(-0.01481250--0.01486044)×2.39087376908698e-05×R²
    4.79400000000015e-05×2.39087376908698e-05×6371000²
    4.79400000000015e-05×2.39087376908698e-05×40589641000000     		ar = 50031.2878135023m²