Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65224 / 47992
↖ ↑ ↗
← N 43.341160°
W  0.856933°		 ← 222.08 m → N 43.341160°
W  0.854187°		 →
↑
222.09 m
↓
↑
222.09 m
↓
N 43.339162°
W  0.856933°		 ← 222.09 m →
49 324 m²		 N 43.339162°
W  0.854187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497623443603516 y=0.366153717041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497623443603516 × 217)
    floor (0.497623443603516 × 131072)
    floor (65224.5)     		tx = 65224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366153717041016 × 217)
    floor (0.366153717041016 × 131072)
    floor (47992.5)     		ty = 47992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65224 / 47992 ti = "17/65224/47992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65224/47992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65224 ÷ 217
    65224 ÷ 131072     		x = 0.49761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47992 ÷ 217
    47992 ÷ 131072     		y = 0.36614990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.0047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01495631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36614990234375 × 2 - 1) × π
    0.2677001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.841004966934265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01495631} λ = -0.01495631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.841004966934265))-π/2
    2×atan(2.31869601910963)-π/2
    2×1.16362113567785-π/2
    2.32724227135571-1.57079632675     		φ = 0.75644594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01495631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.856933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75644594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.341160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65224 KachelY 47992 -0.01495631 0.75644594 -0.856933 43.341160
    Oben rechts KachelX + 1 65225 KachelY 47992 -0.01490838 0.75644594 -0.854187 43.341160
    Unten links KachelX 65224 KachelY + 1 47993 -0.01495631 0.75641108 -0.856933 43.339162
    Unten rechts KachelX + 1 65225 KachelY + 1 47993 -0.01490838 0.75641108 -0.854187 43.339162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75644594-0.75641108) × R
    3.48599999999699e-05 × 6371000     		dl = 222.093059999808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75644594-0.75641108) × R
    3.48599999999699e-05 × 6371000     		dr = 222.093059999808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01495631--0.01490838) × cos(0.75644594) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.727279895916415 × 6371000     		do = 222.083665395225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01495631--0.01490838) × cos(0.75641108) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.72730382132138 × 6371000     		du = 222.090971305453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75644594)-sin(0.75641108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727279895916415-0.72730382132138)×R²
    abs(-0.01490838--0.01495631)×2.39254049645421e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.39254049645421e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.39254049645421e-05×40589641000000     		ar = 49324.0521244967m²