Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 65224 / 45640
↖ ↑ ↗
← N 47.857403°
W  0.856933°		 ← 204.89 m → N 47.857403°
W  0.854187°		 →
↑
204.89 m
↓
↑
204.89 m
↓
N 47.855560°
W  0.856933°		 ← 204.90 m →
41 981 m²		 N 47.855560°
W  0.854187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497623443603516 y=0.348209381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497623443603516 × 217)
    floor (0.497623443603516 × 131072)
    floor (65224.5)     		tx = 65224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348209381103516 × 217)
    floor (0.348209381103516 × 131072)
    floor (45640.5)     		ty = 45640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65224 / 45640 ti = "17/65224/45640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65224/45640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65224 ÷ 217
    65224 ÷ 131072     		x = 0.49761962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45640 ÷ 217
    45640 ÷ 131072     		y = 0.34820556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.0047607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01495631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34820556640625 × 2 - 1) × π
    0.3035888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.953752554840637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01495631} λ = -0.01495631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953752554840637))-π/2
    2×atan(2.59543090496048)-π/2
    2×1.20303278937093-π/2
    2.40606557874186-1.57079632675     		φ = 0.83526925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01495631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.856933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83526925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.857403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65224 KachelY 45640 -0.01495631 0.83526925 -0.856933 47.857403
    Oben rechts KachelX + 1 65225 KachelY 45640 -0.01490838 0.83526925 -0.854187 47.857403
    Unten links KachelX 65224 KachelY + 1 45641 -0.01495631 0.83523709 -0.856933 47.855560
    Unten rechts KachelX + 1 65225 KachelY + 1 45641 -0.01490838 0.83523709 -0.854187 47.855560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83526925-0.83523709) × R
    3.21599999999478e-05 × 6371000     		dl = 204.891359999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83526925-0.83523709) × R
    3.21599999999478e-05 × 6371000     		dr = 204.891359999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01495631--0.01490838) × cos(0.83526925) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.67097806424777 × 6371000     		do = 204.891223784169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01495631--0.01490838) × cos(0.83523709) × R
    4.79299999999998e-05 × 0.671001909807515 × 6371000     		du = 204.898505312699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83526925)-sin(0.83523709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67097806424777-0.671001909807515)×R²
    abs(-0.01490838--0.01495631)×2.3845559745217e-05×R²
    4.79299999999998e-05×2.3845559745217e-05×6371000²
    4.79299999999998e-05×2.3845559745217e-05×40589641000000     		ar = 41981.1874580628m²