Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65223 / 46281
↖ ↑ ↗
← N 46.662632°
W  0.859680°		 ← 209.61 m → N 46.662632°
W  0.856933°		 →
↑
209.54 m
↓
↑
209.54 m
↓
N 46.660748°
W  0.859680°		 ← 209.62 m →
43 923 m²		 N 46.660748°
W  0.856933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497615814208984 y=0.353099822998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497615814208984 × 217)
    floor (0.497615814208984 × 131072)
    floor (65223.5)     		tx = 65223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353099822998047 × 217)
    floor (0.353099822998047 × 131072)
    floor (46281.5)     		ty = 46281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65223 / 46281 ti = "17/65223/46281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65223/46281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65223 ÷ 217
    65223 ÷ 131072     		x = 0.497611999511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46281 ÷ 217
    46281 ÷ 131072     		y = 0.353096008300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497611999511719 × 2 - 1) × π
    -0.0047760009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01500425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353096008300781 × 2 - 1) × π
    0.293807983398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.923025002184181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01500425} λ = -0.01500425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.923025002184181))-π/2
    2×atan(2.51689249123611)-π/2
    2×1.19260645069459-π/2
    2.38521290138919-1.57079632675     		φ = 0.81441657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01500425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.859680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81441657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.662632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65223 KachelY 46281 -0.01500425 0.81441657 -0.859680 46.662632
    Oben rechts KachelX + 1 65224 KachelY 46281 -0.01495631 0.81441657 -0.856933 46.662632
    Unten links KachelX 65223 KachelY + 1 46282 -0.01500425 0.81438368 -0.859680 46.660748
    Unten rechts KachelX + 1 65224 KachelY + 1 46282 -0.01495631 0.81438368 -0.856933 46.660748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81441657-0.81438368) × R
    3.28899999999521e-05 × 6371000     		dl = 209.542189999695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81441657-0.81438368) × R
    3.28899999999521e-05 × 6371000     		dr = 209.542189999695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01500425--0.01495631) × cos(0.81441657) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.68629285364708 × 6371000     		do = 209.61150268187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01500425--0.01495631) × cos(0.81438368) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.686316775005604 × 6371000     		du = 209.618808880499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81441657)-sin(0.81438368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68629285364708-0.686316775005604)×R²
    abs(-0.01495631--0.01500425)×2.39213585240261e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.39213585240261e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.39213585240261e-05×40589641000000     		ar = 43923.2188035116m²