Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65222 / 45774
↖ ↑ ↗
← N 47.609867°
W  0.862427°		 ← 205.91 m → N 47.609867°
W  0.859680°		 →
↑
205.91 m
↓
↑
205.91 m
↓
N 47.608015°
W  0.862427°		 ← 205.92 m →
42 400 m²		 N 47.608015°
W  0.859680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497608184814453 y=0.349231719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497608184814453 × 217)
    floor (0.497608184814453 × 131072)
    floor (65222.5)     		tx = 65222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.349231719970703 × 217)
    floor (0.349231719970703 × 131072)
    floor (45774.5)     		ty = 45774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65222 / 45774 ti = "17/65222/45774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65222/45774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65222 ÷ 217
    65222 ÷ 131072     		x = 0.497604370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45774 ÷ 217
    45774 ÷ 131072     		y = 0.349227905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497604370117188 × 2 - 1) × π
    -0.004791259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01505219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.349227905273438 × 2 - 1) × π
    0.301544189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.94732901029155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01505219} λ = -0.01505219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.94732901029155))-π/2
    2×atan(2.57881247068718)-π/2
    2×1.20087262708043-π/2
    2.40174525416085-1.57079632675     		φ = 0.83094893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01505219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.862427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83094893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.609867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65222 KachelY 45774 -0.01505219 0.83094893 -0.862427 47.609867
    Oben rechts KachelX + 1 65223 KachelY 45774 -0.01500425 0.83094893 -0.859680 47.609867
    Unten links KachelX 65222 KachelY + 1 45775 -0.01505219 0.83091661 -0.862427 47.608015
    Unten rechts KachelX + 1 65223 KachelY + 1 45775 -0.01500425 0.83091661 -0.859680 47.608015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83094893-0.83091661) × R
    3.23199999999746e-05 × 6371000     		dl = 205.910719999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83094893-0.83091661) × R
    3.23199999999746e-05 × 6371000     		dr = 205.910719999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01505219--0.01500425) × cos(0.83094893) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.674175211108332 × 6371000     		do = 205.910462742418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01505219--0.01500425) × cos(0.83091661) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.674199081385432 × 6371000     		du = 205.917753339465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83094893)-sin(0.83091661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674175211108332-0.674199081385432)×R²
    abs(-0.01500425--0.01505219)×2.38702770996024e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38702770996024e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38702770996024e-05×40589641000000     		ar = 42399.9222485445m²