Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 65222 / 45637
↖ ↑ ↗
← N 47.862931°
W  0.862427°		 ← 204.91 m → N 47.862931°
W  0.859680°		 →
↑
204.89 m
↓
↑
204.89 m
↓
N 47.861089°
W  0.862427°		 ← 204.92 m →
41 985 m²		 N 47.861089°
W  0.859680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 65222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497608184814453 y=0.348186492919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497608184814453 × 217)
    floor (0.497608184814453 × 131072)
    floor (65222.5)     		tx = 65222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348186492919922 × 217)
    floor (0.348186492919922 × 131072)
    floor (45637.5)     		ty = 45637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 65222 / 45637 ti = "17/65222/45637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/65222/45637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 65222 ÷ 217
    65222 ÷ 131072     		x = 0.497604370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45637 ÷ 217
    45637 ÷ 131072     		y = 0.348182678222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497604370117188 × 2 - 1) × π
    -0.004791259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01505219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348182678222656 × 2 - 1) × π
    0.303634643554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.953896365539497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01505219} λ = -0.01505219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.953896365539497))-π/2
    2×atan(2.59580418253278)-π/2
    2×1.20308103371067-π/2
    2.40616206742134-1.57079632675     		φ = 0.83536574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01505219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.862427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83536574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.862931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 65222 KachelY 45637 -0.01505219 0.83536574 -0.862427 47.862931
    Oben rechts KachelX + 1 65223 KachelY 45637 -0.01500425 0.83536574 -0.859680 47.862931
    Unten links KachelX 65222 KachelY + 1 45638 -0.01505219 0.83533358 -0.862427 47.861089
    Unten rechts KachelX + 1 65223 KachelY + 1 45638 -0.01500425 0.83533358 -0.859680 47.861089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83536574-0.83533358) × R
    3.21599999999478e-05 × 6371000     		dl = 204.891359999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83536574-0.83533358) × R
    3.21599999999478e-05 × 6371000     		dr = 204.891359999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01505219--0.01500425) × cos(0.83536574) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.670906515989396 × 6371000     		do = 204.912119116882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01505219--0.01500425) × cos(0.83533358) × R
    4.79399999999998e-05 × 0.670930363631191 × 6371000     		du = 204.919402800525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83536574)-sin(0.83533358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670906515989396-0.670930363631191)×R²
    abs(-0.01500425--0.01505219)×2.38476417956379e-05×R²
    4.79399999999998e-05×2.38476417956379e-05×6371000²
    4.79399999999998e-05×2.38476417956379e-05×40589641000000     		ar = 41985.4689519344m²